If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Kurs: Analiza matematyczna - program rozszerzony II > Rozdział 5

Lekcja 10: Związek pomiędzy przebiegiem zmienności funkcji, jej pierwsze pochodnej i jej drugiej pochodnej
Matematyka
Analiza matematyczna - program rozszerzony II
Zastosowanie rachunku pochodnych do badanie własności funkcji
Związek pomiędzy przebiegiem zmienności funkcji, jej pierwsze pochodnej i jej drugiej pochodnej
© 2024 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie

Wnioskowanie o funkcji na podstawie znajomości jej pierwszej pochodnej

Google Classroom
Przyjrzyjmy się bliżej jak przebieg zmienności funkcji związany jest z przebiegiem zmienności jej pochodnej. Taki sposób rozumowania nazywamy "argumentami opartymi o analizę matematyczną, albo o rachunek różniczkowy." Nauczmy się stosować to w praktyce.
Jak się za chwilę przekonamy, pochodna f′ udziela nam mnóstwo użytecznych informacji o samej funkcji f.

W jaki sposób dzięki f′ możemy się przekonać, na których przedziałach f rośnie lub maleje

Przypomnijmy, że funkcja jest rosnąca, gdy jej wartości zwiększają się wraz ze wzrostem argumentu x.
Na wykresie sprowadza się to do tego, że, gdy przemieszczamy się w prawą stronę, wykres funkcji przesuwa się w górę. Analogicznie wykres funkcji malejącej idzie w dół wraz z przesuwaniem się w prawo.
A teraz przypuśćmy, że nie dysponujemy wykresem funkcji f, a jedynie wykresem jej pochodnej, f′.
Nadal jesteśmy w stanie stwierdzić, gdzie funkcja f rośnie lub maleje, opierając się na znaku pochodnej f′:
  • Przedziały, na których pochodna f′ jest dodatnia (tj. wykres znajduje się powyżej osi X), to te, na których funkcja f jest rosnąca.
  • Przedziały, na których f′ jest ujemna (tj. wykres znajduje się poniżej osi X), to te, na których f jest malejąca.
Gdy uzasadniamy własności funkcji w oparciu o jej pochodną, stosujemy rozumowanie oparte na rachunku różniczkowym.
zadanie 1
Oto dwa poprawne uzasadnienia tego, że f jest funkcją rosnącą:
A. Gdy argumenty x rosną, rosną również wartości funkcji f.
B. Pochodna funkcji f jest wszędzie dodatnia.
Które z poniższych uzasadnień jest oparte na rachunku różniczkowym?
Wybierz 1 odpowiedź:

Zadanie 2
Oto wykres funkcji różniczkowalnej f oraz jej pochodnej f′:
Jakie jest poprawne i oparte na rachunku różniczkowym uzasadnienie tego, że f jest malejąca dla x>3?
Wybierz 1 odpowiedź:

Częsty błąd: badanie innej własności pochodnej niż jej znak

Ważne jest, by, badając wykres pochodnej, pamiętać, że następujące zdania są równoważne:
  • f′(x)<0 w pewnym punkcie lub na pewnym przedziale
  • Wykres f′ znajduje się w tym punkcie/przedziale poniżej osi X.
(Podobnie f′(x)>0, gdy wykres znajduje się poniżej osi X)

W jaki sposób za pomocą f′ możemy określić, czy f ma minimum lub maksimum lokalne

Aby funkcja f miała w danym punkcie maksimum lokalne, musi ona rosnąć przed tym punktem i maleć po nim.
W samym punkcie maksimum funkcja nie jest ani rosnąca, ani malejąca.
Oznacza to, że wykres pochodnej f′ przecina oś X w danym punkcie, a więc wykres znajduje się poniżej osi X przed tym punktem i powyżej osi X za nim.
Zadanie 3
Oto wykres funkcji różniczkowalnej g i jej pochodnej g′:
Jakie jest poprawne i oparte na rachunku różniczkowym uzasadnienie tego, że g ma minimum lokalne w punkcie x=−3?
Wybierz 1 odpowiedź:

Częsty błąd: mylenie zależności między funkcją a jej pochodną

Przekonaliśmy się, że znak pochodnej odpowiada kierunkowi funkcji (współczynnikowi kierunkowemu stycznej funkcji w danym punkcie). Nie możemy jednak wnioskować niczego o monotoniczności funkcji w oparciu o inne własności pochodnej.
Na przykład to, że pochodna jest rosnąca, nie oznacza bynajmniej, że sama funkcja jest rosnąca (czy np. ma dodatnie wartości). Co więcej, to, że pochodna osiąga w pewnym punkcie maksimum lub minimum lokalne, nie znaczy wcale, że sama funkcja ma w tym właśnie punkcie maksimum lub minimum lokalne.
Zadanie 4
Oto wykres funkcji różniczkowalnej h i jej pochodnej h′:
Czterech uczniów poproszono o podanie właściwego opartego na rachunku różniczkowym uzasadnienia tego, że h jest rosnąca dla x>0.
Połącz uwagi nauczyciela z odpowiednimi uzasadnieniami:
1

Chcesz poćwiczyć więcej? Spróbuj rozwiązać te zadania.

Częsty błąd: stosowanie niejasnych i mało dokładnych sformułowań

Gdy badamy związek między funkcją a jej pochodną, w grę wchodzi wiele różnych czynników: sama funkcja, jej pochodna, znak pochodnej itd. Ważne jest, by wyraźnie zaznaczać, o czym w danej chwili mówimy.
Na przykład, w zadaniu 4 powyżej, poprawnym uzasadnieniem opartym na rachunku różniczkowym faktu, że h jest rosnąca będzie to, że h′ jest dodatnia, tj. jej wykres znajduje się powyżej osi X. Jeden z uczniów podał odpowiedź "Jest powyżej osi X.". Takie uzasadnienie nie precyzuje, co znajduje się powyżej osi X: wykres funkcji h, wykres jej pochodnej h′, czy jeszcze coś innego. Nie można zaakceptować takiego wyjaśnienia bez dodatkowego uściślenia.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się
Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.