Główna zawartość
Analiza matematyczna - program rozszerzony II
Kurs: Analiza matematyczna - program rozszerzony II > Rozdział 7
Lekcja 6: Znajdowanie rozwiązania ogólnego metodą rozdzielenia zmiennych- Wprowadzenie do równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych
- Rozwiązywanie równań różniczkowych o rozdzielonych zmiennych
- Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
- Rozwiązywanie równań różniczkowych o rozdzielonych zmiennych: znajdź błąd
- Przykład równania różniczkowego o rozdzielonych zmiennych
- Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
- Rozpoznawanie równań różniczkowych o rozdzielonych zmiennych
- Rozpoznawanie równań separowalnych
- Sprawdź, czy dane równanie jest równaniem separowalnych
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Metoda rozdzielenia zmiennych jest popularnym sposobem rozwiązywania równań różniczkowych. Zobacz, kiedy i jak można ją zastosować.
Metoda rozdzielenia zmiennych jest często spotykanym sposobem zapisania równania różniczkowego w postaci, która umożliwia jego rozwiązanie. Zobaczmy jak to działa na przykładzie równania :
Prześledźmy to rozwiązanie.
W i wierszu zapisaliśmy wyjściowe równanie z wiersza w taki sposób: . Innymi słowy, rozdzieliliśmy i tak, że po jednej stronie równania występowała tylko jedna zmienna, włączając w to także i , które razem tworzyly symbol . To właśnie dlatego ten sposób nazywamy "metodą rozdzielenia zmiennych."
W wierszu wzięliśmy całki nieoznaczone z obu stron równania. Zasada jest taka, że o ile równa się , to całki nieoznaczone z obu stron także muszą być równe.
W wierszach oraz wykonaliśmy te całki, po (po lewej stronie równania) i po (z prawej strony równania) i wyznaczyliśmy .
Stałą całkowania uwzględniliśmy tylko po prawej stronie tego równania. Uwzględnianie stałej całkowania po obu stronach nie jest konieczne, zawsze można jedną z tych stałych przenieść na drugą stronę, tak że rozwiązanie zależy tylko od jednej stałej całkowania.
A zatem, ogólne rozwiązanie równania ma postać funkcji . Podstaw teraz tak zdefiniowane do tego równania i sprawdź, że rzeczywiście jest rozwiązaniem.
Spoglądając na nasze rozwiązanie, przekonasz się że to właśnie rozdzielenie zmiennych w wierszach i pozwoliło nam wykonać całkowanie i przejść do równania bez pierwszej pochodnej.
Chcesz dołączyć do dyskusji?
Na razie brak głosów w dyskusji