Główna zawartość

Analiza matematyczna - program rozszerzony II

Kurs: Analiza matematyczna - program rozszerzony II > Rozdział 2

Lekcja 8: Pochodne cos(x), sin(x), 𝑒ˣ, oraz ln(x)

Wyprowadzenie wzorów na pochodne sin(x) i cos(x)

Dowód, że pochodna sin(x) równa się cos(x), a pochodna cos(x) równa się -sin(x). Tłumaczenie na język polski: Fundacja Edukacja dla Przyszłości.

Funkcje trygonometryczne

\sin (x)

\cos (x)

odgrywają ważną rolę w zastosowaniach analizy matematycznej. Ich pochodne wynoszą:

\begin{aligned} \frac{d}{d x} [\sin (x)] & = \cos (x) \\ \frac{d}{d x} [\cos (x)] & = - \sin (x) \end{aligned}

Program kursu rachunku różniczkowego AP nie wymaga znajomości dowodu tych wzorów, ale naszym zdaniem warto je poznać, tym bardziej że leżą one całkowicie w naszym zasięgu. Zawsze warto zastanowić się nad dowodem, albo przynajmniej uzasadnieniem twierdzenia, które właśnie poznajesz.

Zaczniemy od obliczenia dwóch granic, które wykorzystamy w naszym dowodzie.

1. $lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = 1$ ‍

Filmy wideo na Khan Academy

Limit of sin(x)/x as x approaches 0Zobacz transkrypcję filmu

2. $lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x} = 0$ ‍

Filmy wideo na Khan Academy

Limit of (1-cos(x))/x as x approaches 0Zobacz transkrypcję filmu

Jesteśmy gotowi aby udowodnić, że pochodna $\sin (x)$ ‍ wynosi $\cos (x)$ ‍.

Filmy wideo na Khan Academy

Proof of the derivative of sin(x)Zobacz transkrypcję filmu

A teraz skorzystamy z faktu, że pochodna $\sin (x)$ ‍ wynosi $\cos (x)$ ‍ aby udowodnić, że pochodna $\cos (x)$ ‍ wynosi $- \sin (x)$ ‍.

Filmy wideo na Khan Academy

Proof of the derivative of cos(x)Zobacz transkrypcję filmu

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Analiza matematyczna - program rozszerzony II

Kurs: Analiza matematyczna - program rozszerzony II > Rozdział 2

Zaczniemy od obliczenia dwóch granic, które wykorzystamy w naszym dowodzie.

1. limx→0sin⁡(x)x=1‍

2. limx→01−cos⁡(x)x=0‍

Jesteśmy gotowi aby udowodnić, że pochodna sin⁡(x)‍ wynosi cos⁡(x)‍ .

A teraz skorzystamy z faktu, że pochodna sin⁡(x)‍ wynosi cos⁡(x)‍ aby udowodnić, że pochodna cos⁡(x)‍ wynosi −sin⁡(x)‍ .

Chcesz dołączyć do dyskusji?

1. $lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = 1$ ‍

2. $lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x} = 0$ ‍

Jesteśmy gotowi aby udowodnić, że pochodna $\sin (x)$ ‍ wynosi $\cos (x)$ ‍.

A teraz skorzystamy z faktu, że pochodna $\sin (x)$ ‍ wynosi $\cos (x)$ ‍ aby udowodnić, że pochodna $\cos (x)$ ‍ wynosi $- \sin (x)$ ‍.