Główna zawartość

Analiza matematyczna - program rozszerzony II

Kurs: Analiza matematyczna - program rozszerzony II > Rozdział 2

Lekcja 9: Wzór na pochodną iloczynu funkcji

Podsumowanie wiadomości na temat różniczkowania iloczynu funkcji

Powtórz sobie, co wiesz o różniczkowaniu iloczynu funkcji i wykorzystaj te wiadomości do rozwiązania kilku zadań.

Jak obliczyć pochodną iloczynu funkcji?

Wzór na pochodną iloczynu mówi nam jak obliczyć pochodną wyrażenia, które jest iloczynem dwóch funkcji, lub w bardziej ogólnym przypadku, dwóch innych wyrażeń:

\frac{d}{d x} [f (x) \cdot g (x)] = \frac{d}{d x} [f (x)] \cdot g (x) + f (x) \cdot \frac{d}{d x} [g (x)]

Krótko mówiąc, jeśli mamy policzyć pochodną iloczynu dwóch funkcji

f

g

, należy pochodną

f

pomnożyć przez

g

i dodać do tego

f

pomnożoną przez pochodną

g

Chcesz dowiedzieć więcej różniczkowaniu iloczynu funkcji? Obejrzyj ten film.

Jakie zadania mogę rozwiązać za pomocą wzoru na pochodną iloczynu funkcji?

Przykład 1

Na przykład, oblicz pochodną funkcji danej wzorem

h (x) = \ln (x) \cos (x)

\begin{aligned} h^{'} (x) \\ = \frac{d}{d x} (\ln (x) \cos (x)) \\ = \frac{d}{d x} (\ln (x)) \cos (x) + \ln (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)) & Zastosuj wzór na pochodną iloczynu \\ = \frac{1}{x} \cdot \cos (x) + \ln (x) \cdot (- \sin (x)) & Podstaw pochodne \ln (x) i \cos (x) \\ = \frac{\cos (x)}{x} - \ln (x) \sin (x) & Uprość \end{aligned}

Sprawdź, czy rozumiesz

zadanie 1

f (x) = x^{2} e^{x}

f^{'} (x) =

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Przykład 2

Załóżmy, że mamy podaną następującą tabelę wartości dwóch funkcji i ich pochodnych:

$x$ ‍	$f (x)$ ‍	$g (x)$ ‍	$f^{'} (x)$ ‍	$g^{'} (x)$ ‍
$4$ ‍	$- 4$ ‍	$13$ ‍	$0$ ‍	$8$ ‍

Nich

H (x)

będzie równe

f (x) \cdot g (x)

. Ile wynosi

H^{'} (4)

Ze wzoru na pochodną iloczynu funkcji wynika, że

H^{'} (x)

równa się

f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x)

. To znaczy, że

H^{'} (4)

równa się

f^{'} (4) g (4) + f (4) g^{'} (4)

. Podstawmy do tego wyrażenia wartości podane w tabeli:

\begin{aligned} H^{'} (4) & = f^{'} (4) g (4) + f (4) g^{'} (4) \\ = (0) (13) + (- 4) (8) \\ = - 32 \end{aligned}

Sprawdź, czy rozumiesz

zadanie 1

$x$ ‍	$g (x)$ ‍	$h (x)$ ‍	$g^{'} (x)$ ‍	$h^{'} (x)$ ‍
$- 2$ ‍	$2$ ‍	$- 1$ ‍	$3$ ‍	$4$ ‍

F (x) = g (x) \cdot h (x)

F^{'} (- 2) =

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.