Główna zawartość

Analiza matematyczna - program rozszerzony II

Lekcja 10: Wzór na pochodną ilorazu funkcji

Podsumowanie wiadomości na temat różniczkowania ilorazu funkcji

Powtórz sobie, co wiesz o różniczkowaniu ilorazu funkcji i wykorzystaj te wiadomości do rozwiązania kilku zadań.

Wzór na pochodną ilorazu mówi nam, jak zróżniczkować wyrażenia będące ilorazem dwóch prostszych wyrażeń:

\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}] = \frac{\frac{d}{d x} [f (x)] \cdot g (x) - f (x) \cdot \frac{d}{d x} [g (x)]}{[g (x)]^{2}}

Krótko mówiąc, należy obliczyć iloczyn pochodnej

f

i funkcji

g

, odjąć iloczyn funkcji

f

i pochodnej funkcji

g

a pod koniec wszystko podzielić przez

[g (x)]^{2}

Chcesz wiedzieć więcej o pochodnej ilorazu? Obejrzyj ten film.

Obliczmy pochodną funkcji

\frac{\sin (x)}{x^{2}}

\begin{aligned} \frac{d}{d x} (\frac{\sin (x)}{x^{2}}) \\ = \frac{\frac{d}{d x} (\sin (x)) x^{2} - \sin (x) \frac{d}{d x} (x^{2})}{(x^{2})^{2}} & Pochodna ilorazu \\ = \frac{\cos (x) \cdot x^{2} - \sin (x) \cdot 2 x}{(x^{2})^{2}} & Zróżniczkuj \sin (x) i x^{2} \\ = \frac{x (x \cos (x) - 2 \sin (x))}{x^{4}} & Uprość \\ = \frac{x \cos (x) - 2 \sin (x)}{x^{3}} & Skróć wyrazy podobne \end{aligned}

zadanie 1

f (x) = \frac{x^{2}}{e^{x}}

f^{'} (x) =

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Załóżmy, że mamy podaną następującą tabelę wartości dwóch funkcji i ich pochodnych:

$x$ ‍	$f (x)$ ‍	$g (x)$ ‍	$f^{'} (x)$ ‍	$g^{'} (x)$ ‍
$4$ ‍	$- 4$ ‍	$- 2$ ‍	$0$ ‍	$8$ ‍

Niech

H (x)

będzie równe

\frac{f (x)}{g (x)}

. Ile wynosi

H^{'} (4)

Ze wzoru na pochodną ilorazu funkcji wynika, że

\frac{f^{'} (x) g (x) - f (x) g^{'} (x)}{[g (x)]^{2}}

. To znaczy, że

H^{'} (4)

równa się

\frac{f^{'} (4) g (4) - f (4) g^{'} (4)}{[g (4)]^{2}}

. Podstawmy do tego wyrażenia wartości podane w tabeli:

\begin{aligned} H^{'} (4) & = \frac{f^{'} (4) g (4) - f (4) g^{'} (4)}{[g (4)]^{2}} \\ = \frac{(0) (- 2) - (- 4) (8)}{(- 2)^{2}} \\ = \frac{32}{4} \\ = 8 \end{aligned}

zadanie 1

$x$ ‍	$g (x)$ ‍	$h (x)$ ‍	$g^{'} (x)$ ‍	$h^{'} (x)$ ‍
$- 2$ ‍	$4$ ‍	$1$ ‍	$- 1$ ‍	$2$ ‍

F (x) = \frac{g (x)}{h (x)}

F^{'} (- 2) =

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji