If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Analiza matematyczna - program rozszerzony II

Kurs: Analiza matematyczna - program rozszerzony II > Rozdział 6

Lekcja 1: Badanie gromadzenia się różnych wielkości za pomocą całek oznaczonych
Matematyka
Analiza matematyczna - program rozszerzony II
Całkowanie jako sumowanie przyrostów zmian funkcji
Badanie gromadzenia się różnych wielkości za pomocą całek oznaczonych
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie

Badanie gromadzenia się różnych wielkości za pomocą całek oznaczonych

Google Classroom
Całki oznaczone można interpretować jako nagromadzenie się pewnych wielkości. Zobacz, jak ta idea funkcjonuje w rozwiązywaniu rzeczywistych problemów. Tłumaczenie na język polski: fundacja Edukacja dla Przyszłości.
Całka oznaczona może służyć do wyrażania informacji o narastaniu i zmianie netto danej wielkości. Zobaczmy, jak to się robi!

Rozważania o narastaniu w rzeczywistych sytuacjach

Powiedzmy, że zbiornik jest napełniany wodą w stałym tempie start color #11accd, 5, start text, space, L, slash, m, i, n, end text, end color #11accd (litrów na minutę) przez start color #ca337c, 6, start text, space, m, i, n, end text, end color #ca337c. Możemy znaleźć objętość wody (w litrach) mnożąc przez siebie czas i tempo zmian.
Objętosˊcˊ=Czas×Tempo=6 min⋅5 lmin=30min⋅lmin=30 l\begin{aligned} \text{Objętość}&=\maroonD{\text{Czas}}\times\blueD{\text{Tempo}} \\ &=\maroonD{6\,\text{min}}\cdot\blueD{5\,\dfrac{\text{l}}{\text{min}}} \\ &=30\dfrac{\cancel{\text{min}}\cdot\text{l}}{\cancel{\text{min}}} \\ &=30\,\text{l} \end{aligned}
Teraz rozważmy ten przypadek graficznie. Tempo zmian może być reprezentowane przez stałą funkcję r, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 5:
Każda jednostka na osi poziomej jest wyrażona w minutach, a każda jednostka na osi pionowej - w litrach na minutę, dlatego pole każdej jednostki kwadratowej jest wyrażone w litrach:
start underbrace, start text, m, i, n, end text, end underbrace, start subscript, start text, s, z, e, r, o, k, o, s, with, \', on top, c, with, \', on top, end text, end subscript, dot, start underbrace, start fraction, start text, l, end text, divided by, start text, m, i, n, end text, end fraction, end underbrace, start subscript, start text, w, y, s, o, k, o, s, with, \', on top, c, with, \', on top, end text, end subscript, equals, start underbrace, start text, l, end text, end underbrace, start subscript, start text, P, o, l, e, end text, end subscript
Ponadto pole prostokąta ograniczonego przez wykres funkcji r, start subscript, 1, end subscript oraz poziomą oś pomiędzy t, equals, 0 i t, equals, 6 daje nam objętość wody po 6 minutach:
Teraz powiedzmy, że napełniany jest inny zbiornik, ale tym razem tempo zmian nie jest stałe:
r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 6, sine, left parenthesis, 0, comma, 3, t, right parenthesis
Jak wyznaczyć objętość wody w tym zbiorniku po 6 minutach? Aby to zrobić, zastanówmy się nad przybliżeniem obszaru pod krzywą pomiędzy t, equals, 0 a t, equals, 6 sumami Riemanna. Dla ułatwienia zastosujmy przybliżenie, przy którym każdy prostokąt ma szerokość 1 jednostki.
Wiemy już, że każdy prostokąt reprezentuje objętość wody w litrach. W szczególności, pole każdego prostokąta w tej sumie Riemanna jest przybliżeniem objętości wody, która została dolana do zbiornika w każdej kolejnej minucie. Kiedy dodamy do siebie te pola, to znaczy kiedy wszystkie objętości są zsumowane, otrzymamy przybliżenie całkowitej objętości wody po 6 minutach.
Im więcej prostokątów o mniejszych szerokościach użyjemy, tym dokładniejsze będzie nasze przybliżenie. Jeśli przejdziemy do badania granicy przy liczbie prostokątów dążącej do nieskończoności, otrzymamy całkę oznaczoną integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 6, end superscript, r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t. Oznacza to, że dokładna objętość wody po 6 minutach jest równa polu obszaru ograniczonego przez wykres r, start subscript, 2, end subscript i poziomą oś pomiędzy t, equals, 0 a t, equals, 6.
Tak więc rachunek różniczkowy pozwala nam na wyznaczenie dokładnej objętości po 6 minutach:
integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 6, end superscript, r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, approximately equals, 24, comma, 5, start text, l, end text

Całka oznaczona z tempa zmian danej wielkości pozwala obliczyć zmianę netto tej wielkości

W powyższym przykładzie pojawiła się funkcja opisująca tempo zmian. W tym przypadku było to tempo zmian objętości wody w czasie. Całka oznaczona tej funkcji pozwoliła nam obliczyć nagromadzenie objętości - wielkości, której tempo zmian znaliśmy.
Istotny był także przedział czasu, który braliśmy pod uwagę przy obliczaniu całki. W naszym przykładzie był to początek nalewania wody left parenthesis, t, equals, 0, right parenthesis i kolejne sześć minut left parenthesis, t, equals, 6, right parenthesis. Zatem całka oznaczona pozwoliła nam wyznaczyć zmianę netto w ilości wody w zbiorniku pomiędzy t, equals, 0 a t, equals, 6.
Zazwyczaj myślimy o całkach oznaczonych na dwa sposoby: opisują one nagromadzenie danej wielkości, dlatego pozwalają nam wyznaczyć jej zmianę netto.

Dlaczego "zmiana netto" ilości, a nie po prostu ilość?

Zwróć uwagę, że w powyższym przykładzie nie podano informacji, czy przed chwilą t, equals, 0 w zbiorniku znajdowała się woda. Jeśli zbiornik był pusty, wówczas integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 6, end superscript, r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, approximately equals, 24, comma, 5, start text, l, end text jest w rzeczywistości ilością wody w zbiorniku po 6 minutach. Ale jeśli zbiornik zawierał wcześniej, powiedzmy, 7 litrów wody, to objętość wody po 6 minutach wynosi:
start underbrace, 7, end underbrace, start subscript, start text, o, b, j, ę, t, o, s, with, \', on top, c, with, \', on top, space, w, space, c, h, w, i, l, i, space, end text, t, equals, 0, end subscript, plus, start overbrace, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 6, end superscript, r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, end overbrace, start superscript, start text, z, m, i, a, n, a, comma, space, n, a, r, a, s, t, a, n, i, e, space, o, b, j, ę, t, o, s, with, \', on top, c, i, space, o, d, space, end text, t, equals, 0, start text, space, d, o, space, end text, t, equals, 6, end superscript
Ca daje nam w przybliżeniu 7, plus, 24, comma, 5, equals, 31, comma, 5, start text, space, L, end text.
Zapamiętaj: Całka oznaczona zawsze daje nam zmianę netto danej wielkości, nie jej rzeczywistą wartość. Aby znaleźć rzeczywistą wartość, należy dodać wynik całkowania do wartości początkowej.
Zadanie 1.A
  • Prąd elektryczny
Zadanie 1 przeprowadzi Cię przez proces analizy zagadnienia dotyczącego nagromadzenia:
W czasie t, populacja bakterii rośnie w tempie r, left parenthesis, t, right parenthesis gramów na dzień, gdzie t jest wyrażone w dniach.
W jakich jednostkach jest wyrażona całka oznaczona integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 8, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t?
Wybierz 1 odpowiedź:

Często popełniany błąd: niewłaściwy wybór jednostki

Jak we wszystkich zadaniach tekstowych, jednostki odgrywają tu ważną rolę. Pamiętaj, że jeśli r to funkcja tempa wzrostu mierzonego w start fraction, start color #11accd, start text, W, i, e, l, k, o, s, with, \', on top, c, with, \', on top, space, A, end text, end color #11accd, divided by, start color #ca337c, start text, W, i, e, l, k, o, s, with, \', on top, c, with, \', on top, space, B, end text, end color #ca337c, end fraction, to jej całka oznaczona jest wyrażona w start color #11accd, start text, w, i, e, l, k, o, s, with, \', on top, c, i, space, A, end text, end color #11accd.
Na przykład, w zadaniu 1 r było wyrażone w start fraction, start color #11accd, start text, g, r, a, m, a, c, h, end text, end color #11accd, divided by, start color #ca337c, start text, d, z, i, e, n, with, \', on top, end text, end color #ca337c, end fraction, dlatego całka z r jest wyrażona w start color #11accd, start text, g, r, a, m, a, c, h, end text, end color #11accd.
Zadanie 2
Eden spacerował w tempie r, left parenthesis, t, right parenthesis kilometrów na godzinę (gdzie t oznacza czas w godzinach).
Jaką informację możemy odczytać z faktu, że integral, start subscript, 2, end subscript, cubed, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, equals, 6?
Wybierz 1 odpowiedź:

Często popełniany błąd: Niezrozumienie przedziału całkowania

Dla każdej funkcji tempa zmian r, jej całka oznaczona integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t opisuje nagromadzenie wartości pomiędzy t, equals, a a t, equals, b.
Częstym błędem jest pominięcie jednej z granic (najczęściej dolnej), co skutkuje błędną interpretacją zadania.
Na przykład, w zadaniu 2 błędem byłoby interpretowanie integral, start subscript, 2, end subscript, cubed, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t jako odległości pokonanej przez Edena w czasie 3 godzin. Dolna granica całkowania to 2, więc integral, start subscript, 2, end subscript, cubed, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t to odległość, jaką pokonał Eden pomiędzy 2 a 3 godziną. Co więcej, w sytuacjach takich jak ta, kiedy przedział czasu ma dokładnie jedną jednostkę długości, zazwyczaj mówimy "podczas 3 godziny".
Zadanie 3
Dochody Julii wynoszą r, left parenthesis, t, right parenthesis zł miesięcznie (gdzie t to odpowiedni miesiąc roku). Julia zarobiła 3 tysiące złotych w pierwszym miesiącu roku.
Jaką informację możemy odczytać z faktu, że 3, plus, integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, 5, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, equals, 19?
Wybierz 1 odpowiedź:

Często popełniany błąd: Ignorowanie warunków początkowych

Dla funkcji tempa zmian f i jej funkcji pierwotnej F, całka integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t daje nam zmianę netto wartości F pomiędzy t, equals, a a t, equals, b. Jeśli dodamy do niej warunek początkowy, otrzymamy rzeczywistą wartość F.
Na przykład, w zadaniu 3 integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, 5, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t odpowiada zminie w ilości pieniędzy, które zarobiła Julia pomiędzy 1 a 5 miesiącem. Ponieważ jednak dodaliśmy 3, czyli ilość pieniędzy zarobionych przez Julię w 1 miesiącu, całe wyrażenie odpowiada rzeczywistej ilości pieniędzy zarobionych po 5 miesiącach.

Związek z tempem zmian

W rachunku różniczkowym dowiedzieliśmy się, że pochodna f, prime funkcji f daje chwilowe tempo zmian wartości f dla danego argumentu. Teraz zajmujemy sie sytuacją odwrotną. Dla dowolnej funkcji tempa zmian f, jej funkcja pierwotna F daje wartość zgromadzonej wielkości, której tempo zmian jest opisane przez f.
WielkośćTempo zmian
Rachunek różniczkowyf, left parenthesis, x, right parenthesisf, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
Rachunek całkowyF, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, x, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, tf, left parenthesis, x, right parenthesis
Zadanie 4
Funkcja k, left parenthesis, t, right parenthesis opisuje ilość ketchupu (w kilogramach) wyprodukowanego przez fabrykę sosów w czasie t (w godzinach) danego dnia.
Co reprezentuje integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 4, end superscript, k, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t?
Wybierz 1 odpowiedź:

Chcesz jeszcze poćwiczyć? Spróbuj rozwiązać to ćwiczenie.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się
Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.