Główna zawartość
Analiza matematyczna - program rozszerzony II
Kurs: Analiza matematyczna - program rozszerzony II > Rozdział 6
Lekcja 1: Badanie gromadzenia się różnych wielkości za pomocą całek oznaczonychBadanie gromadzenia się różnych wielkości za pomocą całek oznaczonych
Całki oznaczone można interpretować jako nagromadzenie się pewnych wielkości. Zobacz, jak ta idea funkcjonuje w rozwiązywaniu rzeczywistych problemów. Tłumaczenie na język polski: fundacja Edukacja dla Przyszłości.
Całka oznaczona może służyć do wyrażania informacji o narastaniu i zmianie netto danej wielkości. Zobaczmy, jak to się robi!
Rozważania o narastaniu w rzeczywistych sytuacjach
Powiedzmy, że zbiornik jest napełniany wodą w stałym tempie start color #11accd, 5, start text, space, L, slash, m, i, n, end text, end color #11accd (litrów na minutę) przez start color #ca337c, 6, start text, space, m, i, n, end text, end color #ca337c. Możemy znaleźć objętość wody (w litrach) mnożąc przez siebie czas i tempo zmian.
Teraz rozważmy ten przypadek graficznie. Tempo zmian może być reprezentowane przez stałą funkcję r, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 5:
Każda jednostka na osi poziomej jest wyrażona w minutach, a każda jednostka na osi pionowej - w litrach na minutę, dlatego pole każdej jednostki kwadratowej jest wyrażone w litrach:
Ponadto pole prostokąta ograniczonego przez wykres funkcji r, start subscript, 1, end subscript oraz poziomą oś pomiędzy t, equals, 0 i t, equals, 6 daje nam objętość wody po 6 minutach:
Teraz powiedzmy, że napełniany jest inny zbiornik, ale tym razem tempo zmian nie jest stałe:
Jak wyznaczyć objętość wody w tym zbiorniku po 6 minutach? Aby to zrobić, zastanówmy się nad przybliżeniem obszaru pod krzywą pomiędzy t, equals, 0 a t, equals, 6 sumami Riemanna. Dla ułatwienia zastosujmy przybliżenie, przy którym każdy prostokąt ma szerokość 1 jednostki.
Wiemy już, że każdy prostokąt reprezentuje objętość wody w litrach. W szczególności, pole każdego prostokąta w tej sumie Riemanna jest przybliżeniem objętości wody, która została dolana do zbiornika w każdej kolejnej minucie. Kiedy dodamy do siebie te pola, to znaczy kiedy wszystkie objętości są zsumowane, otrzymamy przybliżenie całkowitej objętości wody po 6 minutach.
Im więcej prostokątów o mniejszych szerokościach użyjemy, tym dokładniejsze będzie nasze przybliżenie. Jeśli przejdziemy do badania granicy przy liczbie prostokątów dążącej do nieskończoności, otrzymamy całkę oznaczoną integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 6, end superscript, r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t. Oznacza to, że dokładna objętość wody po 6 minutach jest równa polu obszaru ograniczonego przez wykres r, start subscript, 2, end subscript i poziomą oś pomiędzy t, equals, 0 a t, equals, 6.
Tak więc rachunek różniczkowy pozwala nam na wyznaczenie dokładnej objętości po 6 minutach:
Całka oznaczona z tempa zmian danej wielkości pozwala obliczyć zmianę netto tej wielkości
W powyższym przykładzie pojawiła się funkcja opisująca tempo zmian. W tym przypadku było to tempo zmian objętości wody w czasie. Całka oznaczona tej funkcji pozwoliła nam obliczyć nagromadzenie objętości - wielkości, której tempo zmian znaliśmy.
Istotny był także przedział czasu, który braliśmy pod uwagę przy obliczaniu całki. W naszym przykładzie był to początek nalewania wody left parenthesis, t, equals, 0, right parenthesis i kolejne sześć minut left parenthesis, t, equals, 6, right parenthesis. Zatem całka oznaczona pozwoliła nam wyznaczyć zmianę netto w ilości wody w zbiorniku pomiędzy t, equals, 0 a t, equals, 6.
Zazwyczaj myślimy o całkach oznaczonych na dwa sposoby: opisują one nagromadzenie danej wielkości, dlatego pozwalają nam wyznaczyć jej zmianę netto.
Dlaczego "zmiana netto" ilości, a nie po prostu ilość?
Zwróć uwagę, że w powyższym przykładzie nie podano informacji, czy przed chwilą t, equals, 0 w zbiorniku znajdowała się woda. Jeśli zbiornik był pusty, wówczas integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 6, end superscript, r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, approximately equals, 24, comma, 5, start text, l, end text jest w rzeczywistości ilością wody w zbiorniku po 6 minutach. Ale jeśli zbiornik zawierał wcześniej, powiedzmy, 7 litrów wody, to objętość wody po 6 minutach wynosi:
Ca daje nam w przybliżeniu 7, plus, 24, comma, 5, equals, 31, comma, 5, start text, space, L, end text.
Zapamiętaj: Całka oznaczona zawsze daje nam zmianę netto danej wielkości, nie jej rzeczywistą wartość. Aby znaleźć rzeczywistą wartość, należy dodać wynik całkowania do wartości początkowej.
Często popełniany błąd: niewłaściwy wybór jednostki
Jak we wszystkich zadaniach tekstowych, jednostki odgrywają tu ważną rolę. Pamiętaj, że jeśli r to funkcja tempa wzrostu mierzonego w start fraction, start color #11accd, start text, W, i, e, l, k, o, s, with, \', on top, c, with, \', on top, space, A, end text, end color #11accd, divided by, start color #ca337c, start text, W, i, e, l, k, o, s, with, \', on top, c, with, \', on top, space, B, end text, end color #ca337c, end fraction, to jej całka oznaczona jest wyrażona w start color #11accd, start text, w, i, e, l, k, o, s, with, \', on top, c, i, space, A, end text, end color #11accd.
Na przykład, w zadaniu 1 r było wyrażone w start fraction, start color #11accd, start text, g, r, a, m, a, c, h, end text, end color #11accd, divided by, start color #ca337c, start text, d, z, i, e, n, with, \', on top, end text, end color #ca337c, end fraction, dlatego całka z r jest wyrażona w start color #11accd, start text, g, r, a, m, a, c, h, end text, end color #11accd.
Często popełniany błąd: Niezrozumienie przedziału całkowania
Dla każdej funkcji tempa zmian r, jej całka oznaczona integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t opisuje nagromadzenie wartości pomiędzy t, equals, a a t, equals, b.
Częstym błędem jest pominięcie jednej z granic (najczęściej dolnej), co skutkuje błędną interpretacją zadania.
Na przykład, w zadaniu 2 błędem byłoby interpretowanie integral, start subscript, 2, end subscript, cubed, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t jako odległości pokonanej przez Edena w czasie 3 godzin. Dolna granica całkowania to 2, więc integral, start subscript, 2, end subscript, cubed, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t to odległość, jaką pokonał Eden pomiędzy 2 a 3 godziną. Co więcej, w sytuacjach takich jak ta, kiedy przedział czasu ma dokładnie jedną jednostkę długości, zazwyczaj mówimy "podczas 3 godziny".
Często popełniany błąd: Ignorowanie warunków początkowych
Dla funkcji tempa zmian f i jej funkcji pierwotnej F, całka integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t daje nam zmianę netto wartości F pomiędzy t, equals, a a t, equals, b. Jeśli dodamy do niej warunek początkowy, otrzymamy rzeczywistą wartość F.
Na przykład, w zadaniu 3 integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, 5, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t odpowiada zminie w ilości pieniędzy, które zarobiła Julia pomiędzy 1 a 5 miesiącem. Ponieważ jednak dodaliśmy 3, czyli ilość pieniędzy zarobionych przez Julię w 1 miesiącu, całe wyrażenie odpowiada rzeczywistej ilości pieniędzy zarobionych po 5 miesiącach.
Związek z tempem zmian
W rachunku różniczkowym dowiedzieliśmy się, że pochodna f, prime funkcji f daje chwilowe tempo zmian wartości f dla danego argumentu. Teraz zajmujemy sie sytuacją odwrotną. Dla dowolnej funkcji tempa zmian f, jej funkcja pierwotna F daje wartość zgromadzonej wielkości, której tempo zmian jest opisane przez f.
Wielkość | Tempo zmian | |
---|---|---|
Rachunek różniczkowy | f, left parenthesis, x, right parenthesis | f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis |
Rachunek całkowy | F, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, x, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t | f, left parenthesis, x, right parenthesis |
Chcesz jeszcze poćwiczyć? Spróbuj rozwiązać to ćwiczenie.
Chcesz dołączyć do dyskusji?
Na razie brak głosów w dyskusji