If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Własności funkcji zdefiniowanych przez całki oznaczone

Wnioskowanie w oparciu o rachunek różniczkowy i całkowy na temat własności funkcji pierwotnej. Tłumaczenie na język polski: fundacja Edukacja dla Przyszłości.
Rachunek różniczkowy daje nam narzędzia do analizowania własności funkcji f w oparciu o informacje na temat zachowania jej pochodnej f, prime. Dzięki rachunkowi całkowemu możemy, zamiast analizować funkcje i ich pochodne, wnioskować o ich funkcjach pierwotnych.

Wnioskowanie o funkcji g na podstawie wykresu funkcji g, prime, equals, f

A oto wykres funkcji f:
Niech g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, x, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t. Funcja g zdefiniowana w ten sposób jest funkcją pierwotną funkcji f. W rachunku różniczkowym zapisalibyśmy tę zależność jako g, prime, equals, f. Ponieważ f jest pochodną g, możemy wnioskować o zachowaniu funkcji g postępując podobnie jak w rachunku różniczkowym.
Na przykład, f przyjmuje dodatnie wartości na przedziale open bracket, 0, comma, 10, close bracket, więc g musi być na tym przedziale rosnąca.
Co więcej, f zmienia znak w x, equals, 10, więc g musi mieć w tym punkcie ekstremum lokalne. Ponieważ f zmienia znak z dodatniego na ujemny, jest to maksimum.
Powyższe przykłady pokazują, że możemy na podstawie wykresu wyznaczyć przedziały, na których g maleje lub rośnie i punkty, w których osiąga ekstrema lokalne. Możemy też wnioskować o wypukłości g. Ponieważ f jest rosnąca na przedziale open bracket, minus, 2, comma, 5, close bracket, wiemy że g jest na tym przedziale wyypukła. Analogicznie, ponieważ f jest malejąca na przedziale open bracket, 5, comma, 13, close bracket wiemy, że g jest wklęsła na tym przedziale. g zmienia wypukłość w x, equals, 5, więc jest to punkt przegięcia.
zadanie 1
A oto wykres f:
Niech g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, x, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t.
Jakie jest poprawne i oparte na rachunku różniczkowym uzasadnienie tego, że g jest wypukła na przedziale left parenthesis, 5, comma, 10, right parenthesis?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Zadanie 2
A oto wykres f:
Niech g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, x, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t.
Jakie jest poprawne i oparte na rachunku różniczkowym uzasadnienie tego, że g ma minimum lokalne w punkcie x, equals, 8?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Chcesz poćwiczyć więcej? Spróbuj rozwiązać to zadanie.
To niezwykle ważne aby pamiętać, które własności funkcji są powiązane z którymi własnościami jej funkcji pierwotnej. Wielu studentów myli się i dochodzi do błędnych wniosków, twierdząc na przykład, że funkcja pierwotna jest dodatnia, ponieważ funkcja jest rosnąca (w rzeczywistości prawdziwa jest odwrotna zależność).
Poniższa tabela podsumowuje wszystkie zależności pomiędzy własnościami funkcji i jej funkcji pierwotnej.
Kiedy funkcja f jest...Jej funkcja pierwotna g, equals, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, x, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t jest...
Dodatnia plusRosnąca \nearrow
Ujemna minusMalejąca \searrow
Rosnąca \nearrowWypukła \cup
Malejąca \searrowWklęsła \cap
Zmienia znak / przecina oś XEkstremum lokalne
Ekstremum lokalnePunkt przegięcia
Wyzwanie
A oto wykres f:
Niech g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, x, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t.
Jakie jest poprawne i oparte na rachunku różniczkowym uzasadnienie tego, że g jest dodatnia na przedziale open bracket, 7, comma, 12, close bracket?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź: