Własności funkcji zdefiniowanych przez całki oznaczone

Rachunek różniczkowy daje nam narzędzia do analizowania własności funkcji $f$f w oparciu o informacje na temat zachowania jej pochodnej $f'$f, prime. Dzięki rachunkowi całkowemu możemy, zamiast analizować funkcje i ich pochodne, wnioskować o ich funkcjach pierwotnych.

A oto wykres funkcji $f$f:

Niech $g(x)=\displaystyle\int_0^x f(t)\,dt$g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, x, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t. Funcja $g$g zdefiniowana w ten sposób jest funkcją pierwotną funkcji $f$f. W rachunku różniczkowym zapisalibyśmy tę zależność jako $g'=f$g, prime, equals, f. Ponieważ $f$f jest pochodną $g$g, możemy wnioskować o zachowaniu funkcji $g$g postępując podobnie jak w rachunku różniczkowym.

Na przykład, $f$f przyjmuje dodatnie wartości na przedziale $[0,10]$open bracket, 0, comma, 10, close bracket, więc $g$g musi być na tym przedziale rosnąca.

Co więcej, $f$f zmienia znak w $x=10$x, equals, 10, więc $g$g musi mieć w tym punkcie ekstremum lokalne. Ponieważ $f$f zmienia znak z dodatniego na ujemny, jest to maksimum.

Powyższe przykłady pokazują, że możemy na podstawie wykresu wyznaczyć przedziały, na których $g$g maleje lub rośnie i punkty, w których osiąga ekstrema lokalne. Możemy też wnioskować o wypukłości $g$g. Ponieważ $f$f jest rosnąca na przedziale $[-2,5]$open bracket, minus, 2, comma, 5, close bracket, wiemy że $g$g jest na tym przedziale wyypukła. Analogicznie, ponieważ $f$f jest malejąca na przedziale $[5,13]$open bracket, 5, comma, 13, close bracket wiemy, że $g$g jest wklęsła na tym przedziale. $g$g zmienia wypukłość w $x=5$x, equals, 5, więc jest to punkt przegięcia.

To niezwykle ważne aby pamiętać, które własności funkcji są powiązane z którymi własnościami jej funkcji pierwotnej. Wielu studentów myli się i dochodzi do błędnych wniosków, twierdząc na przykład, że funkcja pierwotna jest dodatnia, ponieważ funkcja jest rosnąca (w rzeczywistości prawdziwa jest odwrotna zależność).

Poniższa tabela podsumowuje wszystkie zależności pomiędzy własnościami funkcji i jej funkcji pierwotnej.