Główna zawartość

Kurs: Analiza matematyczna - program rozszerzony II > Rozdział 6

Lekcja 11: Całkowanie przez podstawienie

Całkowanie przez podstawienie: całki oznaczone

Obliczanie całek oznaczonych metodą przez podstawienie nie różni się zasadniczo od obliczania całek nieoznaczonych, z jednym ważnym wyjątkiem: dokonując podstawienia, należy odpowiednio przekształcić granice całkowania. Zobaczmy o co chodzi na przykładzie całki oznaczonej

\int_{1}^{2} 2 x (x^{2} + 1)^{3} d x

Widzimy, że

2 x

równa się pochodnej

x^{2} + 1

, więc możemy dokonać zamiany zmiennych. Niech

u = x^{2} + 1

, wtedy

d u = 2 x d x

. Podstawiając do naszego wyrażenia, otrzymujemy:

\int_{1}^{2} 2 x (x^{2} + 1)^{3} d x = \int_{1}^{2} (u)^{3} d u

Chwileczkę! A co z granicami całkowania? Były dostosowane do całkowania po

x

, a nie po

u

. Przyjrzyjmy się co się dzieje na rysunku. Mieliśmy obliczyć pole powierzchni obszaru pomiędzy wykresem funkcji

y = 2 x (x^{2} + 1)^{3}

i osią

X

, ograniczonego przez

x = 1

x = 2

Po podstawieniu, nasza funkcja uległa zmianie i wynosi teraz

y = u^{3}

. A co powinniśmy zrobić z granicami całkowania?

I rzeczywiście, po zamianie zmiennych granice całkowania nie będą takie same. Aby wyznaczyć nowe granice, powinniśmy obliczyć wartości

u

równe

x^{2} + 1

dla

x = 1

oraz

x = 2

Dolna granica: $(1)^{2} + 1 = 2$ ‍
Górna granica: $(2)^{2} + 1 = 5$ ‍

Prawidłowo wykonane przedstawienie zmienia także wartości granic całkowania:

\int_{1}^{2} 2 x (x^{2} + 1)^{3} d x = \int_{2}^{5} (u)^{3} d u

Możemy teraz rozważać już tylko zmienną

u

\begin{aligned} \int_{2}^{5} u^{3} d u & = {[\frac{u^{4}}{4}]}_{2}^{5} \\ = \frac{5^{4}}{4} - \frac{2^{4}}{4} \\ = 152, 25 \end{aligned}

Pamiętaj: przy obliczaniu całek oznaczonych metodą podstawiania, musisz zawsze pamiętać o tym, co dzieje się z granicami całkowania.

zadanie 1

Ela ma obliczyć całkę oznaczoną

\int_{1}^{5} (2 x + 1) (x^{2} + x)^{3} d x

. Ela wykonała następujące kroki:

Krok 1: podstawmy

u = x^{2} + x

Krok 2: zapiszmy

d u = (2 x + 1) d x

Krok 3:

\int_{1}^{5} (2 x + 1) (x^{2} + x)^{3} d x = \int_{1}^{5} u^{3} d u

Krok 4:

\begin{aligned} \int_{1}^{5} u^{3} d u & = {[\frac{u^{4}}{4}]}_{1}^{5} \\ = \frac{5^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4} \\ = 156 \end{aligned}

Czy rozwiązanie Eli jest poprawne? Jeśli nie, gdzie popełniła błąd.

(Choice A)
Rozwiązanie Eli jest poprawne.
(Choice B)
Ela popełniła błąd w 1 kroku, należało zdefiniować $u$ ‍ jako $2 x + 1$ ‍.
(Choice C)
Ela popełniła błąd w 3 kroku, należało zmienić granice całkowania.
(Choice D)
Ela popełniła błąd w 4 kroku, funkcja pierwotna do $u^{3}$ ‍ jest równa $3 u^{2}$ ‍.

Zadanie 2

\int_{1}^{2} 15 x^{2} (x^{3} - 7)^{4} d x = ?

Chcesz jeszcze poćwiczyć? Spróbuj rozwiązać to ćwiczenie.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.