If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

0

punktów mistrzowskich do zdobycia

O tym kursie

Ucz się sam(a)!
Przygotowujesz się do egzaminu AP Calculus?
(Otwiera system)

Definicja i notacja granicy funkcji

Ucz się sam(a)!
Wprowadzenie do pojęcia granicy
(Otwiera system)
Wprowadzenie do pojęcia granicy
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Wprowadzenie do pojęcia granicyRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Szacowanie wartości granic na podstawie wykresów

Ucz się sam(a)!
Szacowanie wartości granic na podstawie wykresów
(Otwiera system)
Jednostronne granice z wykresów
(Otwiera system)
Jednostronne granice z wykresów: asymptota
(Otwiera system)
Odczytywanie granicy funkcji z jej wykresu
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Szacowanie wartości granic na podstawie wykresówRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Jednostronne granice z wykresówRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Odczytywanie granicy funkcji z jej wykresuRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Szacowanie granic na podstawie wartości z tabelek

Ucz się sam(a)!
Wykorzystanie tabeli wartości funkcji do oszacowania jej granicy w danym punkcie.
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Szacowanie granicy funkcji na podstawie tabeli jej wartościRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Szacowanie granic na podstawie wartości w kilku punktachRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Jednostronne granice na podstawie tabel wartości funkcjiRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Quiz 1

Podnieś swoje umiejętności w zakresie powyższych zagadnień i zbierz 700 punktów mistrzowskich.

Wyznaczanie granic używając własności algebraicznych granic

Ucz się sam(a)!
Właściwości granicy
(Otwiera system)
Granica kombinacji funkcji
(Otwiera system)
Granica złożenia funkcji
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Granice sumy i różnicy funkcjiRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Granice iloczynu i ilorazu funkcjiRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Granica złożenia funkcji Rozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Wyznaczanie granic używając własności algebraicznych granic: bezpośrednie podstawienie

Ucz się sam(a)!
Obliczane granicy przez bezpośrednie podstawienie
(Otwiera system)
Wnioskowanie o nieistnieniu granicy za pomocą bezpośredniego podstawienia
(Otwiera system)
Granice funkcji trygonometrycznych
(Otwiera system)
Granica funkcji określonej przedziałowo: przykład z wartością bezwzględną.
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Obliczane granicy przez bezpośrednie podstawienieRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Co się dzieje, gdy próbujesz skorzystać z metody bezpośredniego podstawienia w sytuacji, gdy granica funkcji nie istnieje?Rozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Granice funkcji trygonometrycznychRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Granice funkcji przedziałami ciągłychRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Quiz 2

Podnieś swoje umiejętności w zakresie powyższych zagadnień i zbierz 700 punktów mistrzowskich.

Określanie granic używając algebraicznych przekształceń

Ucz się sam(a)!
Algebraiczne obliczanie granic
(Otwiera system)
Obliczanie granic metodą usuwania niewymierności z mianownika
(Otwiera system)
Obliczenie granicy wyrażenia, w którym występują funkcje trygonometryczne, za pomocą jedynki trygonometrycznej
(Otwiera system)
Obliczenie granicy wyrażenia zależącego od funkcji trygonometrycznych za pomocą wzoru na funkcje trygonometryczną podwojonego kąta
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Algebraiczne obliczanie granicRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Obliczanie granicy funkcji metodą przekształcenia wyrażenia, zawierającego niewymiernośćRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Obliczanie granic z wykorzystaniem tożsamości trygonometrycznychRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Wybór właściwej metody obliczenia danej granicy

Ucz się sam(a)!
Sposoby obliczania granicy
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Wnioski z metody bezpośredniego podstawieniaRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Następny krok po tym, jak otrzymaliśmy granicę w formie nieoznaczonejRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Sposoby obliczania granicyRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Obliczanie granic za pomocą twierdzenia o trzech funkcjach

Ucz się sam(a)!
Wprowadzenie do twierdzenia o trzech ciągach
(Otwiera system)
Dowód: granica, gdy x dąży do 0, sin(x)/x = 1
(Otwiera system)
Granica (1-cos(x))/x przy x dążącym do 0
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Twierdzenie o trzech ciągachRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Quiz 3

Podnieś swoje umiejętności w zakresie powyższych zagadnień i zbierz 700 punktów mistrzowskich.

Badanie rodzajów nieciągłości

Ucz się sam(a)!
Typy nieciągłości
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Klasyfikacja nieciągłościRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Definicja ciągłości funkcji w punkcie

Ucz się sam(a)!
Ciągłość funkcji w punkcie
(Otwiera system)
Przykład ciągłości funkcji w danym punkcie (na podstawie wykresu)
(Otwiera system)
Granica funkcji przedziałami ciągłej
(Otwiera system)
Granica funkcji przedziałami ciągłej: przypadek, gdy granica nie istnieje, a funkcja nie jest ciągła
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Ciągłość funkcji w danym punkcie (na podstawie wykresu)Rozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Ciągłość funkcji w punkcie (podejście algebraiczne)Rozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Ciągłość funkcji na przedziale

Ucz się sam(a)!
Ciągłość funkcji na przedziale
(Otwiera system)
Funkcje ciągłe w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych
(Otwiera system)
Przykłady funkcji ciągłych i nieciągłych w danym punkcie
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Ciągłość funkcji na przedzialeRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Ciągłość często spotykanych funkcjiRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Usuwanie nieciągłości

Ucz się sam(a)!
Usuwanie nieciągłości (rozkład na czynniki)
(Otwiera system)
Usuwanie nieciągłości (uwymiernianie)
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Nieciągłości usuwalneRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Quiz 4

Podnieś swoje umiejętności w zakresie powyższych zagadnień i zbierz 600 punktów mistrzowskich.

Zależność pomiędzy nieskończonymi granicami, a pionowymi asymptotami

Ucz się sam(a)!
Granice niewłaściwe funkcji wymiernych
(Otwiera system)
Granice niewłaściwe - wyrażenie wymierne trygonometryczne
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Granice niewłaściwe: wykresy funkcjiRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Granice niewłaściwe: podejście algebraiczneRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Asytmptoty poziome i granice w nieskończoności

Ucz się sam(a)!
Wprowadzenie pojęcia granicy funkcji w nieskończoności
(Otwiera system)
Więcej o asymptotach ukośnych
(Otwiera system)
Przykłady obliczania granic w nieskończoności (część 1)
(Otwiera system)
Przykłady obliczania granic w nieskończoności (część 2)
(Otwiera system)
Granice funkcji z dwiema asymptotami poziomymi
(Otwiera system)
Granica w nieskończoności funkcji wymiernej z pierwiastkiem
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Granice w nieskończoności na podstawie analizy wykresówRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Granice w nieskończoności funkcji wymiernychRozwiąż co najmniej 5 z 7 pytań, aby przejść na następny poziom!
Granice w nieskończoności z wyrażeń, mających postać ilorazuRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Quiz 5

Podnieś swoje umiejętności w zakresie powyższych zagadnień i zbierz 500 punktów mistrzowskich.

Zastosowanie twierdzenia Darboux o przyjmowaniu wartości pośrednich

Ucz się sam(a)!
Twierdzenie Darboux
(Otwiera system)
Przykład zastosowania twierdzenia Darboux
(Otwiera system)
Uzasadnianie stosowalności twierdzenia Darboux w przypadku funkcji danej w postaci tabeli wartości
(Otwiera system)
Uzasadnianie stosowalności twierdzenia Darboux w przypadku funkcji danej równaniem
(Otwiera system)
Podsumowanie wiadomości na temat twierdzenia Darboux
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Zastosowanie twierdzenia Darboux o przyjmowaniu wartości pośrednichRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Uzasadnianie stwierdzeń za pomocą twierdzenia DarbouxRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Quiz 6

Podnieś swoje umiejętności w zakresie powyższych zagadnień i zbierz 200 punktów mistrzowskich.

Dodatkowe filmy wideo - warto zajrzeć!

Ucz się sam(a)!
Formalna definicja granic Część 1: przegląd intuicji
(Otwiera system)
Czekają na Ciebie:

Test sprawdzający

Podnieś swoje umiejętności w zakresie wszystkich tematów należących do tego rozdziału i zbierz 3400 punktów mistrzowskich.

O tym dziale

Granica funkcji opisuje jej zachowanie gdy argument zbliża się do pewnej wartości, niezależnie od tego, ile wynosi wartość funkcji w tym punkcie. Jeśli funkcja jest ciągła, jej wartości w otoczeniu danego punktu zbiegają do wartości funkcji w tym punkcie. Ta prosta obserwacja odgrywa ważną rolę w analizie matematycznej.
AP® jest zastrzeżonym znakiem towarowym firmy College Board, która nie dokonała przeglądu tego zasobu.