Podsumowanie wiadomości na temat twierdzenia Darboux

Twierdzenie Darboux opisuje fundamentalną własność funkcji ciągłych: każda funkcja $f$‍ ciągła w przedziale domkniętym $[a,b]$‍, przyjmuje w tym przedziale wszystkie wartości pomiędzy $f(a)$‍ i $f(b)$‍.

Bardziej formalnie, każda funkcja ciągła f: [a,b] o wartościach rzeczywistych ma własność Darboux, tzn. jeśli f(a) ≠ f(b) oraz d spełnia jedną z nierówności f(a) < d < f(b) lub f(a) > d > f(b), to istnieje taki punkt c w przedziale [a, b], dla którego $f(c)=d$‍.

Możesz sobie łatwo uświadomić dlaczego to twierdzenie jest prawdziwe jeśli przypomnisz sobie, że wykres funkcji ciągłej można narysować nie odrywając ołówka od papieru. Jeśli wiemy, że wykres zaczyna się w punkcie $(a,f(a))$‍, a kończy w $(b,f(b))$‍...

...musi przechodzić przez wszystkie wartości $y$‍ pomiędzy $f(a)$‍ i $f(b)$‍.

Rozważ ciągłą funkcję $f$‍ z następującą tabelę wartości. Sprawdźmy, gdzie może znajdować się rozwiązanie równania $f(x)=2$‍.

Zauważ, ze $f(-1)=3$‍ i $f(0)=-1$‍. Funkcja musi przyjąć każdą wartość między $-1$‍ a $3$‍ w przedziale $[-1,0]$‍.

$2$‍ leży pomiędzy $-1$‍ i $3$‍, więc musi istnieć wartość $c$‍ w przedziale $[-1,0]$‍, dla której $f(c)=2$‍.