Sposoby obliczania granicy (artykuł)

Oto podręczna ulotka z instrukcją jak radzić sobie z obliczaniem granic.

Ważna uwaga #1: Zawsze zaczynaj od metody bezpośredniego podstawienia. Korzystaj z innych sposobów tylko wtedy, gdy obliczenie granicy metodą bezpośredniego podstawienia zawodzi, oszczędzisz sobie w ten sposób niepotrzebnej pracy. Na przykład, nie warto starać się uprościć wyrażenie, którego granicę chcemy obliczyć, jeśli metoda bezpośredniego podstawienia tego nie wymaga.

Ważna uwaga #2: Zauważ istotną różnicę pomiędzy wyrażeniem, dla którego metoda bezpośredniego podstawienia sugeruje wynik postaci

b / 0

, a wyrażeniem, dla którego sugeruje wynik postaci

0 / 0

(zakładamy oczywiście, że

b \neq 0

). W pierwszym przypadku,

b / 0

oznacza, że masz prawdopodobnie do czynienia z granicą niewłaściwą (asymptotą). Jeśli bezpośrednie podstawienie sugeruje wyrażenie typu

0 / 0

, sprawa istnienia granicy jest nadal otwarta. Po prostu nie wykonano wystarczającej pracy aby uprościć to wyrażenie i z tego powodu wyrażenie takie nazywa się wyrażeniem nieokreślonym. Jeśli napotkasz coś takiego, oznacza że musisz zakasać rękawy i wziąć się do roboty, zgodnie ze wskazówkami z dolnej części ulotki.

Uwaga: w przypadku wyrażeń tytu $0 / 0$ ‍ mamy do dyspozycji potężne narzędzie, zwane twierdzeniem de 'l'Hospitala. Nie wspominamy o tym szczegółowo tutaj, bo najpierw musimy nauczyć się obliczać pochodne.

Metoda bezpośredniego podstawienia

zadanie 1

g (x) = \frac{x - 3}{\sqrt{x + 5} - 3}

Chcemy obliczyć granicę

lim_{x \to 4} g (x)

Co będzie, jeśli dokonamy bezpośredniego podstawienia?

Zadanie 2

h (x) = \frac{1 - \cos (x)}{2 \sin^{2} (x)}

Chcemy obliczyć granicę

lim_{x \to 0} h (x)

Co będzie, jeśli dokonamy bezpośredniego podstawienia?

Metoda bezpośredniego podstawienia daje wyrażenie nieokreślone

Zadanie 3

Janek chce obliczyć granicę

lim_{x \to - 1} \frac{x + 1}{x^{2} + 3 x + 2}

Próbował skorzystać z metody bezpośredniego podstawienia i otrzymał wyrażenie nieokreślone

\frac{0}{0}

Co powinien zrobić w następnym kroku?

Zadanie 4

Katarzyna chce obliczyć granicę

lim_{x \to - 3} \frac{\sqrt{4 x + 28} - 4}{x + 3}

Próbowała skorzystać z metody bezpośredniego podstawienia i otrzymała wyrażenie nieokreślone

\frac{0}{0}

Co powinna zrobić w następnym kroku?

Zapiszmy to wszystko razem:

Zadanie 5

Nauczyciel Joanny polecił jej obliczyć granicę

lim_{x \to 5} f (x)

dla

f (x) = \frac{x^{2} - 25}{x^{2} - 10 x + 25}

, a jako pomoc podsunął poniższą ulotkę.

Przeciągnij znajdujące się poniżej karty, aby pokazać kroki, które powinna wykonać Joanna, aby obliczyć tę granicę.

A. Bezpośrednie podstawienie

B. Asymptota

C. Granica została obliczona

D. Wyrażenie nieokreślone

E. Rozłożenie na czynniki

F. Przekształcenie niewymierności

G. Tożsamości trygonometryczne

H. Przybliżenie

Zadanie 6

Nauczyciel Franka polecił mu obliczyć granicę

lim_{x \to 3} f (x)

dla

f (x) = \frac{\sqrt{2 x - 5} - 1}{x - 3}