If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Sposoby obliczania granicy

Różne metody pozwalają nam obliczać różnego rodzaju granice. Trzeba znać te metody i wiedzieć, kiedy można je zastosować. Tłumaczenie na język polski: fundacja Edukacja dla Przyszłości.
Oto podręczna ulotka z instrukcją jak radzić sobie z obliczaniem granic.
Ważna uwaga #1: Zawsze zaczynaj od metody bezpośredniego podstawienia. Korzystaj z innych sposobów tylko wtedy, gdy obliczenie granicy metodą bezpośredniego podstawienia zawodzi, oszczędzisz sobie w ten sposób niepotrzebnej pracy. Na przykład, nie warto starać się uprościć wyrażenie, którego granicę chcemy obliczyć, jeśli metoda bezpośredniego podstawienia tego nie wymaga.
Ważna uwaga #2: Zauważ istotną różnicę pomiędzy wyrażeniem, dla którego metoda bezpośredniego podstawienia sugeruje wynik postaci b, slash, 0, a wyrażeniem, dla którego sugeruje wynik postaci 0, slash, 0 (zakładamy oczywiście, że b, does not equal, 0). W pierwszym przypadku, b, slash, 0 oznacza, że masz prawdopodobnie do czynienia z granicą niewłaściwą (asymptotą). Jeśli bezpośrednie podstawienie sugeruje wyrażenie typu 0, slash, 0, sprawa istnienia granicy jest nadal otwarta. Po prostu nie wykonano wystarczającej pracy aby uprościć to wyrażenie i z tego powodu wyrażenie takie nazywa się wyrażeniem nieokreślonym. Jeśli napotkasz coś takiego, oznacza że musisz zakasać rękawy i wziąć się do roboty, zgodnie ze wskazówkami z dolnej części ulotki.
Uwaga: w przypadku wyrażeń tytu 0, slash, 0 mamy do dyspozycji potężne narzędzie, zwane twierdzeniem de 'l'Hospitala. Nie wspominamy o tym szczegółowo tutaj, bo najpierw musimy nauczyć się obliczać pochodne.

Metoda bezpośredniego podstawienia

zadanie 1
g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, minus, 3, divided by, square root of, x, plus, 5, end square root, minus, 3, end fraction
Chcemy obliczyć granicę limit, start subscript, x, \to, 4, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis.
Co będzie, jeśli dokonamy bezpośredniego podstawienia?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Zadanie 2
h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 1, minus, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, 2, sine, squared, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction
Chcemy obliczyć granicę limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, h, left parenthesis, x, right parenthesis.
Co będzie, jeśli dokonamy bezpośredniego podstawienia?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Metoda bezpośredniego podstawienia daje wyrażenie nieokreślone

Zadanie 3
Janek chce obliczyć granicę limit, start subscript, x, \to, minus, 1, end subscript, start fraction, x, plus, 1, divided by, x, squared, plus, 3, x, plus, 2, end fraction.
Próbował skorzystać z metody bezpośredniego podstawienia i otrzymał wyrażenie nieokreślone start fraction, 0, divided by, 0, end fraction.
Co powinien zrobić w następnym kroku?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Zadanie 4
Katarzyna chce obliczyć granicę limit, start subscript, x, \to, minus, 3, end subscript, start fraction, square root of, 4, x, plus, 28, end square root, minus, 4, divided by, x, plus, 3, end fraction.
Próbowała skorzystać z metody bezpośredniego podstawienia i otrzymała wyrażenie nieokreślone start fraction, 0, divided by, 0, end fraction.
Co powinna zrobić w następnym kroku?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Zapiszmy to wszystko razem:

Zadanie 5
Nauczyciel Joanny polecił jej obliczyć granicę limit, start subscript, x, \to, 5, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis dla f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, squared, minus, 25, divided by, x, squared, minus, 10, x, plus, 25, end fraction, a jako pomoc podsunął poniższą ulotkę.
Przeciągnij znajdujące się poniżej karty, aby pokazać kroki, które powinna wykonać Joanna, aby obliczyć tę granicę.
A. Bezpośrednie podstawienie
B. Asymptota
C. Granica została obliczona
D. Wyrażenie nieokreślone
E. Rozłożenie na czynniki
F. Przekształcenie niewymierności
G. Tożsamości trygonometryczne
H. Przybliżenie

Zadanie 6
Nauczyciel Franka polecił mu obliczyć granicę limit, start subscript, x, \to, 3, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis dla f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, square root of, 2, x, minus, 5, end square root, minus, 1, divided by, x, minus, 3, end fraction, a jako pomoc podsunął poniższą ulotkę.
Przeciągnij znajdujące się poniżej karty, aby pokazać kroki, które powinien wykonać Franek, aby obliczyć tę granicę.
A. Bezpośrednie podstawienie
B. Asymptota
C. Granica została obliczona
D. Wyrażenie nieokreślone
E. Rozłożenie na czynniki
F. Przekształcenie niewymierności
G. Tożsamości trygonometryczne
H. Przybliżenie