If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Temat: Ciągi i szeregi nieskończone

0

punktów mistrzowskich do zdobycia

Zbieżne i rozbieżne szeregi nieskończone

Ucz się sam(a)!
Ciągi zbieżne i rozbieżne
(Otwiera system)
Przykłady ciągów zbieżnych i rozbieznych
(Otwiera system)
Sumy częściowe szeregu - wprowadzenie
(Otwiera system)
Wyprowadzenie wyrażenia na wyraz ogólny szeregu ze wzoru na sumy częściowe
(Otwiera system)
Wyznaczanie wyrazu szeregu ze wzoru na sumy częściowe - wskazówka do ćwiczenia.
(Otwiera system)
Suma szeregu jako granica ciągu sum częściowych
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Ciągi zbieżne/rozbieżneRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Sumy częściowe szeregu - wprowadzenie Rozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Sumy częściowe szeregu Rozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Szeregi geometryczne

Ucz się sam(a)!
Suma szeregu geometrycznego - szereg zbieżny
(Otwiera system)
Przykład rozbieżnego szeregu geometrycznego
(Otwiera system)
Nieskończone szeregi geometryczne: kozłująca piłka
(Otwiera system)
Ułamek dziesiętny okresowy jako szereg geometryczny
(Otwiera system)
Dowód wzoru na sumę nieskończonego szeregu geometrycznego
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Nieskończone szeregi geometryczneRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Quiz 1

Podnieś swoje umiejętności w zakresie powyższych zagadnień i zbierz 400 punktów mistrzowskich.

Warunek konieczny zbieżności szeregu

Ucz się sam(a)!
Warunek konieczny zbieżności szeregu.
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Warunek konieczny zbieżności szeregu - ćwiczenieRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Kryterium całkowe zbieżności szeregu

Ucz się sam(a)!
Kryterium całkowe zbieżności szeregu
(Otwiera system)
Przykład: kryterium całkowe
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Kryterium całkowe zbieżności szereguRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Szereg harmoniczny i potęgowy

Ucz się sam(a)!
Przykład: zbieżność szeregów harmonicznych rzędu p.
(Otwiera system)
Zbieżność szeregów harmonicznych rzędu p
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Szeregi harmoniczne rzędu p. Rozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Kryterium porównawcze zbieżności szeregu

Ucz się sam(a)!
Kryterium porównawcze zbieżności szeregów
(Otwiera system)
Przykład: zastosowanie kryterium porównawczego
(Otwiera system)
Kryterium porównawcze w wersji granicznej
(Otwiera system)
Przykład: zastosowanie kryterium porównawczego w wersji granicznej
(Otwiera system)
Słynny dowód rozbieżności szeregu harmonicznego
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Kryterium porównawcze zbieżności szeregówRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Kryterium porównawcze w wersji granicznejRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Kryterium zbieżności szeregów naprzemiennych

Ucz się sam(a)!
Szeregi naprzemienne - przykład.
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Szeregi naprzemienne -- kryterium Leibniza Rozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Kryterium d'Alemberta zbieżności szeregu

Ucz się sam(a)!
Kryterium d'Alamberta zbieżności szeregów
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Kryterium d'Alamberta zbieżności szeregów Rozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Zbieżność bezwzględna i zbieżność warunkowa

Ucz się sam(a)!
Szeregi zbieżne bezwzględnie i warunkowo
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Określ zbieżność bezwzględną lub warunkowąRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Quiz 2

Podnieś swoje umiejętności w zakresie powyższych zagadnień i zbierz 800 punktów mistrzowskich.

Błąd związany z szeregami naprzemiennymi

Ucz się sam(a)!
Suma szeregu naprzemienego - szacowanie reszty
(Otwiera system)
Przykład szacowania sumy szeregu naprzemiennego
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Suma szeregu naprzemienego - szacowanie resztyRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Przybliżanie funkcji za pomocą rozwinięcia w szereg Taylora

Ucz się sam(a)!
Wprowadzenie do szeregów Taylora i Maclaurina (część 1) - film z polskimi napisami
(Otwiera system)
Wprowadzenie do szeregów Taylora i Maclaurina (część 2) - film z polskimi napisami
(Otwiera system)
Przykład przybliżania funkcji wielomianem Maclaurina
(Otwiera system)
Przykład obliczania współczynników w szeregu Maclaurina
(Otwiera system)
Przykład obliczania współczynnika w rozwinięciu Taylora
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Rozwinięcia w szereg Taylora i MaclaurinaRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Wzór Lagrange'a na resztę rozwinięcia w szereg Taylora

Ucz się sam(a)!
Przybliżenie funkcji sinus wielomianem Maclaurina i oszacowanie błędu
(Otwiera system)
Przybliżenie funkcji wykładniczej wielomianem Maclaurina i oszacowanie błędu
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Wzór Lagrange'a na resztę rozwinięcia w szereg TayloraRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Promień i przedział zbieżności szeregu

Ucz się sam(a)!
Wprowadzenie do szeregów potęgowych
(Otwiera system)
Przykład wyznaczania przedziału zbieżności szeregu potęgowego
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Przedział zbieżnościRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Szeregi Taylora i MacLaurina

Ucz się sam(a)!
Rozwinięcie funkcji w szereg potęgowy - zastosowanie szeregu geometrycznego
(Otwiera system)
Funkcja zdefiniowana szeregiem geometrycznym
(Otwiera system)
Rozwinięcie funkcji arctg(2x) w szereg potęgowy
(Otwiera system)
Rozwinięcie funkcji ln(1+x³) w szereg potęgowy
(Otwiera system)
Szereg Maclaurina funkcji cos(x)
(Otwiera system)
Szereg Maclaurina funkcji sin(x)
(Otwiera system)
Szereg Maclaurina funkcji eˣ
(Otwiera system)
Wykorzystanie rozwinięcia w szereg Maclaurina funkcji cos(x) do rozwinięcia innej funkcji
(Otwiera system)
Rozwinięcie funkcji cos(x) w szereg Maclaurina
(Otwiera system)
Przykład przypisania funkcji do szeregu potęgowego
(Otwiera system)
Graficzne przedstawienie przybliżeń szeregiem Taylora - film z polskimi napisami
(Otwiera system)
Wzór i tożsamość Eulera
(Otwiera system)
Przykład rozwinięcia funkcji w szereg geometryczny w przedziale zbieżności
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Rozwinięcie funkcji w szereg potęgowy - zastosowanie szeregu geometrycznegoRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Rozwinięcie funkcji sin(x), cos(x), oraz eˣ w szereg MaclaurinaRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Przedstawianie funkcji w postaci szeregów potęgowych

Ucz się sam(a)!
Całkowanie szeregu potęgowego wyraz po wyrazie
(Otwiera system)
Różniczkowanie szeregu potęgowego wyraz po wyrazie
(Otwiera system)
Rozwinięcie ln(1-x) w szereg potegowy - całkowanie szeregu geometrycznego
(Otwiera system)
Różniczkowanie i całkowanie szeregów potęgowych - przedział zbieżności
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Całkowanie i różniczkowanie szeregów potęgowychRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Całkowanie i różniczkowanie funkcji zadanych szeregiem potęgowymRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Quiz 3

Podnieś swoje umiejętności w zakresie powyższych zagadnień i zbierz 800 punktów mistrzowskich.

Dodatkowe filmy wideo - warto zajrzeć!

Ucz się sam(a)!
Formalna definicja granicy ciągu
(Otwiera system)
Dowód, że dany ciąg jest zbieżny, wychodząc z formalnej definicji zbieżności
(Otwiera system)
Wzór na sumę kończonego szeregu geometrycznego
(Otwiera system)
Inne "wyprowadzenie" wzoru na sumę nieskończonego szeregu geometrycznego
(Otwiera system)
Suma szeregu geometrycznego jako granica
(Otwiera system)
Zbieżność szeregów harmonicznych rzędu p
(Otwiera system)
Czekają na Ciebie:

Test sprawdzający

Podnieś swoje umiejętności w zakresie wszystkich tematów należących do tego rozdziału i zbierz 2000 punktów mistrzowskich.

O tym dziale

Szeregi to sumy wielu wyrazów. Nieskończone szeregi to sumy nieskończonej liczby wyrazów. Czy wszystkie nieskończone sumy zasze rosną do nieskończoności? Okazuje się, że nie. Niektóre nieskończone szeregi zbiegają do skończonej wartości. Naucz się jak to jest możliwe i jak możemy rozpoznać, że dany szereg zbiega do skończonej wartości. Powiemy również o szeregach Taylora i Maclaurina, które zachowują się jak funkcje i zbiegają do znanych funkcji takich jak sin(x) lub eˣ.
AP® jest zastrzeżonym znakiem towarowym firmy College Board, która nie dokonała przeglądu tego zasobu.