Zbieżność szeregów harmonicznych rzędu p

Szereg postaci $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{^p}}$sum, start subscript, n, equals, 1, end subscript, start superscript, infinity, end superscript, start fraction, 1, divided by, n, start superscript, start superscript, p, end superscript, end superscript, end fraction, gdzie $p$p jest dowolną, dodatnią liczbą rzeczywistą, nazywamy szeregiem harmonicznym rzędu $p$p. Szeregi harmoniczne rzędu $p$p są zbieżne dla $p>1$p, is greater than, 1 i rozbieżne dla $0<p\leq1$0, is less than, p, is less than or equal to, 1.

Program kursu rachunku różniczkowego AP nie wymaga znajomości dowodu tego twierdzenia, ale naszym zdaniem warto poznać ten dowód, tym bardziej że leży on całkowicie w naszym zasięgu. Zawsze warto zastanowić się nad dowodem, albo przynajmniej uzasadnieniem twierdzenia, które właśnie poznajesz.