Jeśli widzisz tę wiadomość oznacza to, że mamy problemy z załadowaniem zewnętrznych materiałów na naszej stronie internetowej.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Główna zawartość

Uogólniona reguła mnożenia w prawdopodobieństwie

Gdy liczymy prawdopodobieństwo zajścia pewnego zdarzenia ORAZ zajścia innego zdarzenia, mnożymy ich prawdopodobieństwa.
W pewnych przypadkach zajście pierwszego zdarzenia wpływa na prawdopodobieństwo drugiego zdarzenia. Mówimy wówczas o zdarzeniach zależnych.
W innych przypadkach zajście pierwszego zdarzenia nie wpływa na prawdopodobieństwo drugiego. Mówimy wówczas o zdarzeniach niezależnych.

Zdarzenia niezależne: Dwukrotny rzut monetą

Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania orła dwa razy z rzędu w dwóch rzutach symetryczną monetą? Inaczej mówiąc: jaka jest szansa uzyskania orła w pierwszym rzucie ORAZ orła w drugim rzucie?
Wyobraźmy sobie, że 100 osób wykonuje takie doświadczenie losowe i rzuca dwukrotnie monetą. Przeciętnie 50 osób uzyska orła w pierwszym rzucie, a spośród nich 25 wyrzuci orła ponownie. Tak więc 25 osób z wyjściowych 100, a więc 1/4 wszystkich osób, uzyska dwa orły z rzędu.
Liczba osób na wyjściu nie gra roli. Teoretycznie 1/2 pierwotnej grupy powinna uzyskać orła, a spośród nich 1/2 wyrzuci orła także za drugim razem. Aby wyliczyć ułamek z ułamka, wykonujemy mnożenie.
Możemy zilustrować tę ideę za pomocą drzewa takiego jak to poniżej:
Wymnażając prawdopodobieństwa znajdujące się na kolejnych gałęziach znajdujemy łączne prawdopodobieństwo zajścia jednego zdarzenia ORAZ zajścia kolejnego zdarzenia.
Na przykład prawdopodobieństwo uzyskania dwóch reszek z rzędu wynosić będzie:
P(R i R)=1212=14
Gdy dwa zdarzenia są niezależne, zachodzi
P(A i B)=P(A)P(B)
Uwaga! Ten wzór zachodzi tylko dla zdarzeń niezależnych!

Zadanie 1: Rzut kostką

Przypuśćmy, że mamy wykonać dwukrotnie rzut symetryczną kostką sześcienną.
zadanie 1
Wyznacz prawdopodobieństwo tego, że za każdym razem wypadnie 3
Wybierz 1 odpowiedź:

Zdarzenia zależne: Losowanie kart

Podobne podejście możemy zastosować mając do czynienia ze zdarzeniami zależnymi.
Rozważmy losowanie dwóch kart bez zwracania ze standardowej talii 52 kart. Oznacza to, że wyciągamy jedną kartę, odkładamy ją na bok, a następnie losujemy kolejną.
Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że obie wylosowane karty są czarne?
Połowa z 52 kart jest czarna, a więc prawdopodobieństwo tego, że pierwsza karta będzie czarna wynosi 26/52. Jednak prawdopodobieństwo uzyskania czarnej karty zmienia się w drugim ciągnięciu, ponieważ zarówno liczba czarnych kart, jak i liczba wszystkich kart zmniejszyły się o 1.
A oto jak te prawdopodobieństwa prezentują w formie drzewa:
Tak więc prawdopodobieństwo tego, że obie karty będą czarne wynosi:
P(obie czarne)=265225510,245

Zadanie 2: Wybór uczniów

Na liście znajduje się 5 uczniów: 3 czwartoklasistów i 2 trzecioklasistów. Nauczyciel zamierza wybrać 2 losowe osoby z tej grupy, aby przedstawiły rozwiązanie pracy domowej.
zadanie 2
Znajdź prawdopodobieństwo tego, że wylosowanych zostanie dwoje trzecioklasistów
Wybierz 1 odpowiedź:

Uogólniona reguła mnożenia

Dla dowolnych dwóch zdarzeń zachodzi:
P(A i B)=P(A)P(B|A)
Pionowa kreska w P(B|A) oznacza "pod warunkiem", a więc można odczytać to wyrażenie jako "prawdopodobieństwo zajścia B pod warunkiem, że zaszło A".
Ten wzór pokazuje, że możemy mnożyć prawdopodobieństwa dwóch zdarzeń, ale rozważając drugie z nich musimy wziąć pod uwagę także i pierwsze zdarzenie.
Jeśli zdarzenia są niezależne, zajście jednego z nich nie wpływa na prawdopodobieństwo drugiego. W tym wypadku zachodzi więc: P(B|A)=P(B).

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.