Główna zawartość

Kurs: Statystyka - program rozszerzony > Rozdział 7

Lekcja 4: Prawdopodobieństwo warunkowe

Diagramy w postaci drzewka i prawdopodobieństwo warunkowe

Przykład: kontrola bagaży na lotnisku

Na lotnisku ochrona prześwietla bagaże pasażerów w poszukiwaniu zabronionych przedmiotów i specjalny alarm powinien się włączyć gdy system wykryje zabroniony przedmiot.

Załóżmy, że $5 %$ ‍ walizek zawiera zabronione przedmioty.
Prawdopodobieństwo, że włączy się alarm gdy w walizce znajduje się zabroniony przedmiot wynosi $98 %$ ‍.
Prawdopodobieństwo, że włączy się alarm gdy w walizce nie ma zabronionych przedmiotów wynosi $8 %$ ‍.

Załóżmy, że jedna z walizek spowodowała włączenie sygnału alarmowego. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że w tej walizce znajduje się zabroniony przedmiot?

Podzielmy to zadanie na mniejsze części i przeanalizujmy każdą z nich.

Początek diagramu drzewowego

Prawdopodobieństwo, że system włączy alarm, zależy od tego, czy w walizce znajdują się zabronione przedmioty, a zatem powinniśmy zacząć od rozróżnienia między walizkami, które zawierają i tymi, które nie zawierają zabronionych przedmiotów.

"Załóżmy, że $5 %$ ‍ walizek zawiera zabronione przedmioty."

Pytanie 1

Ile wynosi prawdopodobieństwo że losowa wybrana walizka NIE zawiera zabronionych przedmiotów?

P (niezabronione) =

Wypełniamy diagram drzewowy

"Prawdopodobieństwo, że włączy się alarm gdy w walizce znajduje się zabroniony przedmiot wynosi $98 %$ ‍"

"Prawdopodobieństwo, że włączy się alarm gdy w walizce nie ma zabronionych przedmiotów wynosi $8 %$ ‍."

Możemy teraz wykorzystać te wszystkie fakty i opisać kolejne gałęzie diagramu drzewowego w następujący sposób:

Pytanie 2

Jeśli walizka zawiera zabroniony przedmiot, ile wynosi prawdopodobieństwo że alarm NIE zostanie włączony?

?_{1} =

Pytanie 3

Jeśli walizka NIE zawiera zabronionych przedmiotów, ile wynosi prawdopodobieństwo że alarm NIE zostanie włączony?

?_{2} =

Uzupełnienie diagramu drzewowego

Aby uzupełnić nasz diagram drzewowy, mnożymy prawdopodobieństwa idąc po każdej ze ścieżek diagramu.

Tak wygląda nasz kompletny diagram drzewowy:

Rozwiązanie zadania

Załóżmy, że jedna z walizek spowodowała włączenie sygnału alarmowego. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że w tej walizce znajduje się zabroniony przedmiot?

Podstaw prawdopodobieństwa obliczone w diagramie drzewowym do wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe:

P (zabronione | alarm) = \frac{P (F \cap A)}{P (A)}

Pytanie 4

Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrana walizka zawiera zabroniony przedmiot I powoduje włączenie alarmu.

P (F \cap A) =

Pytanie 5

Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrana walizka powoduje włączenie alarmu.

P (A) =

Pytanie 6

Załóżmy, że jedna z walizek spowodowała włączenie sygnału alarmowego. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że w tej walizce znajduje się zabroniony przedmiot?
Wynik podaj z dokładnością do trzech cyfr po przecinku.

P (F | A) =

Kiedy pewna walizka powoduje włączenie alarmu, nasza intuicja podpowiada nam, że prawdopodobnie zawiera zabronione przedmioty. Zauważ jednak, że prawdopodobieństwo, że walizka, która spowodowała włączenie alarmu zawiera zabronione przedmioty, wynosi mniej niż

50 %

Wynika to z tego, że większość walizek nie zawiera zabronionych przedmiotów. Pomimo to, niektóre z nich powodują fałszywy alarm, a skoro jest ich wiele, liczba fałszywych alarmów też może być duża. Wyobraź sobie diagram drzewowy, które gałęzie są opisane nie prawdopodobieństwem, a liczbą walizek (w tym diagramie założyliśmy całkowitą liczbę walizek równą

1 000

Tylko kilka walizek zawiera zabronione przedmioty i prawie wszystkie z nich powodują włączenie alarmu. Pomimo to, liczba fałszywych alarmów jest wyższa od liczby alarmów, spowodowanych przez walizki zawierające zabronione przedmioty!

A więc, skoro wiemy jedynie że jakaś walizka spowodowała włączenie alarmu, jest bardziej prawdopodobne że ta walizka NIE zawiera żadnych zabronionych przedmiotów.

A teraz spróbuj sam!

Pacjenci są testowani w szpitalu na obecność przeciwciał świadczących o zachorowaniu na pewną przewlekłą chorobę. Jeśli pacjent jest chory, test powinien dać wynik "dodatni". Jeśli pacjent nie jest chory, test powinien dać wynik "ujemny". Nie ma jednak testów doskonałych.

W przypadku $99 %$ ‍ pacjentów, którzy są chorzy, test da wynik dodatni.
W przypadku $5 %$ ‍ pacjentów, którzy nie są chorzy, test także da wynik dodatni.
Około $10 %$ ‍ populacji choruje na tę chorobę.

W przypadku jednego z pacjentów test dał wynik dodatni. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że pacjent ten jest rzeczywiścio chory na tę chorobę?

Krok 1

Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrany pacjent jest chory (C) I w jego przypadku test dał wynik dodatni (+).

P (C \cap +) =

Krok 2

Oblicz prawdopodobieństwo, że w przypadku losowo wybranego pacjenta test dał wynik dodatni (+).

P (+) =

Krok 3

W przypadku jednego z pacjentów test dał wynik dodatni. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że pacjent ten jest rzeczywiścio chory na tę chorobę?
Odpowiedż zaokrąglij do trzech miejsc po przecinku.

P (C | +) =

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.