If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Wprowadzenie do łączności mnożenia

Przekonaj się, jak zmiana sposobu grupowania czynników w mnożeniu wpływa to na wynik.

Grupowanie liczb

Obrazek przedstawia 3 rzędy, w których znajdują się po 2 kropki. Możemy opisać ten zestaw kropek za pomocą wyrażenia 3×2.
Poniższy obrazek przedstawia ten sam zestaw 3×2 skopiowany 4 razy.
Możemy opisać ten zestaw kropek za pomocą wyrażenia (3×2)×4.
Jeśli policzymy kropki, razem otrzymamy 24.

Zmiana grupowania

Czy otrzymamy łącznie tyle samo jeśli zmienimy nawiasy tak, żeby liczby były pogrupowane w inny sposób?
Pogrupujmy liczby w taki sposób, żeby 2 i 4 były razem: 3×(2×4).
Możemy narysować zestaw kropek, który zilustruje to wyrażenie. Zacznijmy od 2 rzędów zawierających po 4 kropki. Ten zestaw przedstawia działanie 2×4.
Teraz musimy skopiować ten zestaw 3 razy, żeby uzyskać ilustrację wyrażenia 3×(2×4).
Kiedy liczymy wszystkie kropki, okazuje się, że nadal mamy ich 24.
Zmiana sposobu grupowania nie zmienia końcowego wyniku!
(3×2)×4=3×(2×4)

Własność łączności

Własność łączności to matematyczne prawo, które pozwala zmieniać sposób grupowania mnożonych liczb, pozostawiając przy tym końcowy wynik bez zmian.
Pogrupujmy liczby występujące w podanym iloczynie na dwa różne sposoby i pokażmy, że w obydwu przypadkach otrzymamy ten sam wynik.
5×4×2
Zacznijmy od pogrupowania razem liczb 5 i 4 . Możemy obliczyć wartość wyrażenia krok po kroku.
=(5×4)×2
=20×2
=40
Teraz pogrupujmy razem liczby 4 i 2.
=5×(4×2)
=5×8
=40
Dostaliśmy ten sam wynik, mimo że liczby zostały pogrupowane na dwa różne sposoby.
Wszystkie trzy wyrażenia są równe:
=5×4×2
=(5×4)×2
=5×(4×2)

Spróbujmy rozwiązać kilka zadań

zadanie 1
Które wyrażenia są równe 6×3×4?
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

Spróbujmy teraz obliczyć wartość wyrażenia na dwa różne sposoby.
Zadanie 2
Uzupełnij brakujące informacje, żeby obliczyć wartość wyrażenia (3×2)×5.
(3×2)×5 = 
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi
×5
(3×2)×5 = 
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi

Teraz obliczymy wartość tego samego wyrażenia, ale z liczbami pogrupowanymi w inny sposób.
Zadanie 3
Uzupełnij brakujące informacje, żeby obliczyć wartość wyrażenia 3×(2×5).
3×(2×5) = 3×
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi
3×(2×5) = 
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi

(3×2)×5=30 i
3×(2×5)=30
Dostaliśmy ten sam wynik, mimo że liczby zostały pogrupowane na dwa różne sposoby.

Wyrażenia równoważne

Możemy wykorzystać własność łączności, żeby znajdować wyrażenia równoważne.
Zacznijmy od wyrażenia 2×2×5.
Możemy pogrupować liczby w tym wyrażeniu na dwa sposoby, otrzymując w obu przypadkach wyrażenia równoważne 2×2×5:
(2×2)×5
2×(2×5)
Obliczając wartość każdego z tych wyrażeń krok po kroku, możemy znaleźć inne wyrażenia równoważne.
(2×2)×5=4×5
2×(2×5)=2×10
Zatem nasze wyjściowe wyrażenie 2×2×5 jest również równoważne wyrażeniom 4×5 i 2×10.
Zadanie 4
Które wyrażenia są równoważne 8×2×4?
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

Po co zmieniać sposób grupowania?

Zmiana sposobu grupowania może sprawić, że mnożenie stanie się łatwiejsze.
Przyjrzyjmy się wyrażeniu 4×4×5.
Możemy pogrupować liczby w tym wyrażeniu na dwa sposoby:
(4×4)×5
4×(4×5)
Obliczając krok po kroku wartość pierwszego wyrażenia, dostajemy: (4×4)×5=16×5
Obliczając krok po kroku wartość drugiego wyrażenia, dostajemy: 4×(4×5)=4×20
Wyznaczenie iloczynu 4×20 może być łatwiejsze niż wyznaczenie iloczynu 16×5.
Mimo że liczby zostały pogrupowane na dwa różne sposoby, wynik końcowy w obu przypadkach jest ten sam.
4×20=80
16×5=80

Spróbujmy rozwiązać zadanie

Zadanie 5
W jaki sposób możemy pogrupować liczby w wyrażeniu 2×3×9?
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

Zadanie 6
W jaki sposób powinniśmy pogrupować liczby, żeby otrzymać wynik, unikając przy tym mnożenia liczby dwucyfrowej?
Wybierz 1 odpowiedź:

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.