If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Przypomnienie wiadomości o maksimach i minimach globalnych

Przypomnij sobie jak rachunek różniczkowy pozwala zidentyfikować punkty, w których funkcja ma absolutne ekstrema (minima lub maksima).

Znajdowanie minimów i maksimów globalnych za pomocą rachunku różniczkowego

Globalnym maksimum funkcji jest punkt, w którym funkcja ta przyjmuje swoją największą wartość. Podobnie, globalnym minimum funkcji jest punkt, w którym funkcja ta przyjmuje swoją najmniejszą wartość.
Zakładając, że wiesz już, jak znaleźć minima i maksima lokalne, do znalezienia ekstremum globalnego będziesz potrzebować jeszcze jednego kroku: przeanalizowania końców odcinka.
Chcesz dowiedzieć się więcej o globalnych ekstremach i rachunku różniczkowym? Obejrzyj ten film.

Jak znaleźć ekstremum globalne na zamkniętym przedziale?

Twierdzenie o wartościach ekstremalnych mówi nam, że funkcja na odcinku musi przyjąć swoje globalne maksimum i globalne minimum. Te wartości ekstremalne znajdują się w ekstremach lokalnych lub na końcach odcinka.
Znajdźmy dla przykładu ekstrema globalne funkcji h(x)=2x3+3x212x na odcinku 3x3.
h(x)=6(x+2)(x1), więc naszymi punktami krytycznymi są x=2 i x=1. Dzielą one odcinek 3x3 na trzy części:
Przedziałwartość xh(x)Wynik
3<x<2x=52h(52)=212>0h jest rosnąca
2<x<1x=0h(0)=12<0h jest malejąca
1<x<3x=2h(2)=24>0h jest rosnąca
Patrzymy teraz na punkty krytyczne i końce przedziału:
xh(x)PrzedPoWniosek
39Minimum
220Maksimum
17Minimum
345Maksimum
Na przedziale zamkniętym 3x3, punkty (3,9) i (1,7) są lokalnymi minimami a punkty (2,20) i (3,45) są lokalnymi maksimami.
Punkt (1,7) odpowiada minimum lokalnemu o najmniejszej wartości, a więc jest to zarazem punkt, w którym funkcja osiąga absolutne minimum. Punkt (3,45) odpowiada maksimum lokalnemu o największej wartości, a więc jest to zarazem punkt, w którym funkcja osiąga absolutne maksimum.
Zauważ, że minimum globalne funkcji znajduje się wewnątrz tego przedziału a maksimum globalne w jednym z jego końców.
zadanie 1
f(x)=x33x2+12
Jakie jest maksimum globalne funkcji f na zamkniętym przedziale [2,4]?
Wybierz 1 odpowiedź:

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Znajdowanie ekstremów globalnych na całej dziedzinie

Nie wszystkie funkcje mają maksimum lub minimum globalne na swojej dziedzinie. Na przykład, liniowa funkcja f(x)=x nie osiąga ani maksimum, ani minimum globalnego (może być tak duża lub mała, jak sobie tego tylko zażyczymy).
Z drugiej strony, niektóre funkcje osiągają ekstremum globalne na swojej dziedzinie. Przeanalizujmy dla przykładu funkcję g(x)=xe3x.
g(x)=e3x(1+3x), więc punktem krytycznym jest x=13.
Przedziałwartość xg(x)Wynik
(,13)x=1g(1)=2e3<0g jest malejąca
(13,)x=0g(0)=1>0g jest rosnąca
Wyobraźmy sobie, że spacerujemy po wykresie funkcji g, startując całkowicie z lewej (z ) i idąc w kierunku prawego końca (aż do +).
Zaczynamy idąc w dół aź do punktu x=13. Następnie, podążamy już zawsze do góry. A zatem, g osiąga absolutne minimum w punkcie x=13. Ta funkcja nie ma absolutnego maksimum.
Chcesz dowiedzieć się więcej o ekstremach globalnych? Obejrzyj ten film.
zadanie 1
g(x)=ln(x)x
Jakie jest globalne maksimum funkcji g ?
Wybierz 1 odpowiedź:

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.