Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego i funkcje, zdefiniowane przez całki oznaczone

Rozpatrzmy funkcję f, ciągłą w przedziale [a, b]. Jest to przedział domknięty, zawiera więc a i b. Narysujmy to. Rysujemy oś pionową i poziomą. Oś poziomą nazwiemy t, aby zachować oznaczenie x na później. Oś pionową nazwiemy y. Narysujmy wykres funkcji: y = f(t). Oznaczmy na osi t kolejno: punkt a oraz punkt b. Aby zwrócić uwagę na to, że punkty a i b należą do naszego przedziału, pogrubmy te linie. Mamy więc przedział ograniczony punktami a i b, na którym funkcja f jest ciągła. Określmy nową funkcję, mierzącą pole pod wykresem funkcji f pomiędzy punktem a i pewnym innym punktem należącym do wnętrza przedziału [a,b]. Niech to będzie punkt x. Definiujemy więc nową funkcję mierzącą pole pod wykresem funkcji f, między punktami a i x. Jak oznaczamy pole pod wykresem funkcji pomiędzy dwoma punktami? Oczywiście używamy do tego całki oznaczonej. Już teraz wiemy, że całka oznaczona wyraża pole pod wykresem między dwoma punktami. A więc zaznaczone pole to nic innego jak całka oznaczona od a do x, z funkcji f(t). Całkujemy po t. Niech ta całka oznaczona będzie funkcją od x, gdzie x należy do przedziału [a,b]. Zdefiniowaliśmy więc funkcję od argumentu x. Jej wartość, przy ustalonym a i b, zależy jedynie od wyboru x. Nazwijmy tę funkcję F(x). F(x) jest dobrze określoną funkcją. Dla danego x, należącego do przedziału [a,b], F(x) wyznacza pole pod wykresem funkcji f między punktami a i x. Przejdźmy teraz do podstawowego twierdzenia rachunku całkowego. Sformułujmy je. Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego mówi, że pochodna funkcji F(x), pochodna funkcji F(x) po x, czyli inaczej pochodna po x z naszej całki oznaczonej . Oczywiście te dwie rzeczy są sobie równe. Jest to jasne, ponieważ jeśli dwie funkcje są sobie równe, to ich pochodne po x też są równe. Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego mówi, że to, co właśnie zapisaliśmy, jest równe f(x). Zastanówmy się, po co to wszystko? Dlaczego jest to aż tak ważne, że zostało nazwane podstawowym twierdzeniem rachunku całkowego? Otóż dzięki temu wiemy, że dla każdej funkcji ciągłej f, jeśli określimy funkcję F mierzącą pole pod wykresem funkcji f, między punktami a i x, to f(x) jest pochodną funkcji F(x). Wynika stąd, że każda funkcja ciągła f ma swoją funkcję pierwotną F(x). To już coś. Jednak wiąże się z tym coś więcej. Przypomnijmy, że jedyne, czego używaliśmy to całka oznaczona, wyrażająca pole pod wykresem między dwoma punktami. Stąd właśnie bierze się definicja całki Riemanna. Teraz jednak widzimy, że ma to również związek z różniczkowaniem. Rozpatrując całkę oznaczoną, w szczególności, jak w naszym przypadku, między dolną granicą przedziału a punktem x, można o tym myśleć po prostu jako o rozpatrywaniu funkcji pierwotnej. Widząc ten związek, łatwo zrozumieć, dlaczego to twierdzenie nazwano podstawowym twierdzeniem rachunku całkowego. Łączy ono rachunek różniczkowy z rachunkiem całkowym. Przed wprowadzeniem tego twierdzenia, całkowanie traktowaliśmy jedynie jako obliczanie pola pod wykresem. Teraz widzimy związek z pochodnymi. W jaki sposób można to twierdzenie zastosować? W kolejnych filmach zobaczycie, dlaczego to twierdzenie jest prawdziwe i jak je udowodnić. Teraz jednak zastanówmy się, jak można je wykorzystać? Załóżmy, że ktoś poprosił Was o znalezienie pochodnej po x z całki od dowolnej liczby, niech to będzie na przykład całka od pi do x z funkcji cos(t) do kwadratu dzielone przez logarytm naturalny z (t odjąć pierwiastek z t). Całkujemy po t. Chcemy więc obliczyć pochodną po x z tej całki. Zauważmy, że w nawiasie mamy funkcję od x. Jej wartość zależy tylko od wyboru x. Dla różnych x otrzymamy różne wyniki. Jaka jest więc szukana pochodna? Odpowiedź znamy dzięki podstawowemu twierdzeniu rachunku całkowego. W następnych filmach zobaczymy, dlaczego tak to działa. Jednak już teraz widzimy, że, ogólnie rzecz biorąc, jeśli pod całką mamy funkcję od t, czyli f(t), zamiast t wstawiamy x i uzyskujemy funkcję od x, czyli f(x). Więc szukana pochodna będzie równa cos(x) do kwadratu dzielone przez logarytm naturalny z (x odjąć pierwiastek z x). Licząc pochodną z całki oznaczonej z górną granicą x, jako wynik zapisujemy funkcję podcałkową traktując ją nie jako funkcję od t, ale jako funkcję od x. Czasem potrzebujemy znaleźć taką pochodną. Jak sami zobaczycie na egzaminach, zdarza się, że trzeba obliczyć całkę oznaczoną z bardzo zagmatwanej funkcji, a potem ją zróżniczkować. Wystarczy jednak pamiętać podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego, które łączy różniczkowanie i całkowanie. Można pominąć wszystkie obliczenia i pamiętać, że wynikiem jest funkcja podcałkowa f, która jednak zależy nie od t, ale od x. W naszym przykładzie, funkcja podcałkowa była funkcją zależną od t, czyli f(t), wynikiem jest natomiast funkcja od x, czyli f(x). Tutaj liczba pi była naszym a, czyli lewym końcem przedziału [a,b], ale, zauważmy, wartość a nie wpływa w żaden sposób na wynik. Po prawej stronie równania nie ma żadnego wyrazu zależącego od a. Mam nadzieję, że Wam się podobało. W następnych filmach zajmiemy się intuicją, dlaczego tak to działa i rozwiążemy parę przykładów wykorzystując podstawowe twierdzenie rachunku całkowego.