If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Podsumowanie wiadomości na temat podstawowego twierdzenia rachunku całkowego

Powtórz sobie, co wiesz na temat podstawowego twierdzenia rachunku całkowego i wykorzystaj te wiadomości do rozwiązania kilku zadań. Tłumaczenie na język polski: Fundacja Edukacja dla Przyszłości, dzięki wsparciu Fundacji PKO Banku Polskiego.

Jakie jest podstawowe twierdzenie rachunku całkowego?

To twierdzenie ma dwie wersje.

a) ddxaxf(t)dt=f(x)

Zaczynamy od funkcji ciągłej f i definiujemy nową funkcję, która opisuje pole pod krzywą y=f(t):
F(x)=axf(t)dt
Ta wersja twierdzenia mówi, że pochodną F jest f. Innymi słowy, F jest funkcją pierwotną f. Zatem, to twierdzenie wiąże ze sobą rachunki różniczkowy i całkowy i pozwala nam obliczyć pole pod krzywą, korzystając z funkcji pierwotnej.

b) abf(x)dx=F(b)F(a)

Ta wersja daje nam bardziej konkretne instrukcje jak policzyć pole pod krzywą y=f(x) między x=a a x=b. Po prostu znajdź funkcję pierwotną F i oblicz F(b)F(a).
Chcesz dowiedzieć się więcej o podstawowym twierdzeniu rachunku całkowego? Obejrzyj ten film.

Zestaw ćwiczeń 1: Zastosowanie twierdzenia

Zadanie 1.1
g(x)=1x2t+7dt
g(9)=
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Zestaw ćwiczeń 2: Zastosowanie twierdzenia - reguła łańcuchowa

Możemy skorzystać z tego twierdzenia w bardziej skomplikowanych sytuacjach. Obliczmy, na przykład wyrażenieddx0x3sin(t)dt. Zwróć uwagę, że przedział jest od 0 do x3, a nie do x.
Aby sobie pomóc, zdefiniujmy F(x)=0xsin(t)dt. Zgodnie z podstawowym twierdzeniem rachunku całkowego, F(x)=sin(x).
Z naszej definicji wynika, że 0x3sin(t)dt wynosi F(x3), co oznacza, że ddx0x3sin(t)dt wynosi ddxF(x3). Stosując regułę łańcuchową liczymy:
=ddx0x3sin(t)dt=ddxF(x3)=F(x3)ddx(x3)=sin(x3)3x2
Zadanie 2.1
F(x)=0x4cos(t)dt
F(x)=

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.