Podsumowanie wiadomości na temat podstawowego twierdzenia rachunku całkowego

To twierdzenie ma dwie wersje.

Zaczynamy od funkcji ciągłej $f$‍ i definiujemy nową funkcję, która opisuje pole pod krzywą $y=f(t)$‍:

Ta wersja twierdzenia mówi, że pochodną $F$‍ jest $f$‍. Innymi słowy, $F$‍ jest funkcją pierwotną $f$‍. Zatem, to twierdzenie wiąże ze sobą rachunki różniczkowy i całkowy i pozwala nam obliczyć pole pod krzywą, korzystając z funkcji pierwotnej.

Ta wersja daje nam bardziej konkretne instrukcje jak policzyć pole pod krzywą $y=f(x)$‍ między $x=a$‍ a $x=b$‍. Po prostu znajdź funkcję pierwotną $F$‍ i oblicz $F(b)-F(a)$‍.

Możemy skorzystać z tego twierdzenia w bardziej skomplikowanych sytuacjach. Obliczmy, na przykład wyrażenie${\displaystyle \frac{d}{dx}}{\displaystyle {\int }_0^{x^3}\sin (t)dt}$‍. Zwróć uwagę, że przedział jest od $0$‍ do $x^3$‍, a nie do $x$‍.

Aby sobie pomóc, zdefiniujmy ${\displaystyle F(x)={\int }_0^x\sin (t)dt}$‍. Zgodnie z podstawowym twierdzeniem rachunku całkowego, $F^{\prime }(x)=\sin (x)$‍.

Z naszej definicji wynika, że ${\displaystyle {\int }_0^{x^3}\sin (t)dt}$‍ wynosi $F(x^3)$‍, co oznacza, że ${\displaystyle \frac{d}{dx}}{\displaystyle {\int }_0^{x^3}\sin (t)dt}$‍ wynosi ${\displaystyle \frac{d}{dx}}F(x^3)$‍. Stosując regułę łańcuchową liczymy: