Główna zawartość
Analiza matematyczna, wersja z 2017 r
Kurs: Analiza matematyczna, wersja z 2017 r > Rozdział 4
Lekcja 18: Całki niewłaściwePrzypomnienie wiadomości na temat całek niewłaściwych
Przypomnij sobie wiadomości na temat całek niewłaściwych. Tłumaczenie na język polski zrealizowane przez Fundację Edukacja dla Przyszłości dzięki wsparciu Fundacji PKO Banku Polskiego.
Czym są całki niewłaściwe?
Całki niewłaściwe są uogólnieniem całek oznaczonych na przypadek odnoszący się nieograniczonego obszaru.
Jeden rodzaj całek niewłaściwych stanowią takie całki, w których przynajmniej jedna z granic całkowania jest przesunięta do nieskończoności. Przykładem takiej całki niewłaściwej jest . Możemy ją przedstawić jako granicę .
Innym rodzajem całek niewłaściwych są takie całki, w których granice całkowania są skończone, ale funkcja podcałkowa jest nieograniczona w przedziale całkowania. Przykładem takiej całki niewłaściwej jest . Możemy tę całkę przedstawić jako granicę .
Nieograniczony obszar, którego pole nie jest nieskończone? Czy to możliwe?! Otóż to! Wprawdzie nie wszystkie całki niewłaściwe mają skończone wartości, ale niektóre z nich owszem. Jeśli istnieje skończona granica, to mówimy, że całka niewłaściwa jest zbieżna, w przeciwnym wypadku mówimy, że jest rozbieżna.
Czy chcesz dowiedzieć się więcej na temat całek niewłaściwych? Obejrzyj film.
Ćwiczenia - zestaw 1: Obliczanie całek niewłaściwych o nieskończonych granicach całkowania
Obliczmy dla przykładu całkę niewłaściwą . Wspomnieliśmy wcześniej, że wygodnie jest rozpatrywać tę całkę jako granicę . Możemy wtedy skorzystać z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego, żeby wyznaczyć wyrażenie równe całce.
Teraz, kiedy pozbyliśmy się już całki, musimy znaleźć granicę:
Czy chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do ćwiczeń.
Ćwiczenia - zestaw 2: Obliczanie całek niewłaściwych z funkcji nieograniczonych
Obliczmy dla przykładu całkę niewłaściwą . Wspomnieliśmy wcześniej, że wygodnie jest rozpatrywać tę całkę jako granicę . Ponownie wykorzystujemy podstawowe twierdzenie rachunku całkowego, żeby wyznaczyć wyrażenie równe całce.
Teraz, kiedy pozbyliśmy się już całki, musimy znaleźć granicę:
Czy chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do ćwiczeń.
Chcesz dołączyć do dyskusji?
Na razie brak głosów w dyskusji