Jeśli widzisz tę wiadomość oznacza to, że mamy problemy z załadowaniem zewnętrznych materiałów na naszej stronie internetowej.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Główna zawartość

Przypomnienie wiadomości na temat całek niewłaściwych

Przypomnij sobie wiadomości na temat całek niewłaściwych. Tłumaczenie na język polski zrealizowane przez Fundację Edukacja dla Przyszłości dzięki wsparciu Fundacji PKO Banku Polskiego.

Czym są całki niewłaściwe?

Całki niewłaściwe są uogólnieniem całek oznaczonych na przypadek odnoszący się nieograniczonego obszaru.
Jeden rodzaj całek niewłaściwych stanowią takie całki, w których przynajmniej jedna z granic całkowania jest przesunięta do nieskończoności. Przykładem takiej całki niewłaściwej jest11x2dx. Możemy ją przedstawić jako granicę limb1b1x2dx.
Innym rodzajem całek niewłaściwych są takie całki, w których granice całkowania są skończone, ale funkcja podcałkowa jest nieograniczona w przedziale całkowania. Przykładem takiej całki niewłaściwej jest 011xdx. Możemy tę całkę przedstawić jako granicę lima0+a11xdx.
Nieograniczony obszar, którego pole nie jest nieskończone? Czy to możliwe?! Otóż to! Wprawdzie nie wszystkie całki niewłaściwe mają skończone wartości, ale niektóre z nich owszem. Jeśli istnieje skończona granica, to mówimy, że całka niewłaściwa jest zbieżna, w przeciwnym wypadku mówimy, że jest rozbieżna.
Czy chcesz dowiedzieć się więcej na temat całek niewłaściwych? Obejrzyj film.

Ćwiczenia - zestaw 1: Obliczanie całek niewłaściwych o nieskończonych granicach całkowania

Obliczmy dla przykładu całkę niewłaściwą 11x2dx. Wspomnieliśmy wcześniej, że wygodnie jest rozpatrywać tę całkę jako granicę limb1b1x2dx. Możemy wtedy skorzystać z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego, żeby wyznaczyć wyrażenie równe całce.
1b1x2dx=1bx2dx=[x11]1b=[1x]1b=1b(11)=11b
Teraz, kiedy pozbyliśmy się już całki, musimy znaleźć granicę:
limb1b1x2dx=limb(11b)=10=1
Zadanie 1.1
11x3dx=?
Wybierz 1 odpowiedź:

Czy chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do ćwiczeń.

Ćwiczenia - zestaw 2: Obliczanie całek niewłaściwych z funkcji nieograniczonych

Obliczmy dla przykładu całkę niewłaściwą 011xdx. Wspomnieliśmy wcześniej, że wygodnie jest rozpatrywać tę całkę jako granicę lima0+a11xdx. Ponownie wykorzystujemy podstawowe twierdzenie rachunku całkowego, żeby wyznaczyć wyrażenie równe całce.
a11xdx=a1x12dx=[x1212]a1=[2x]a1=212a=22a
Teraz, kiedy pozbyliśmy się już całki, musimy znaleźć granicę:
lima0+a11xdx=lima0+(22a)=220=2
Zadanie 2.1
081Ax3dx=?
Wybierz 1 odpowiedź:

Czy chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do ćwiczeń.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.