Teraz już wiesz, jak użyć sum Riemanna do przybliżenia pola powierzchni pod krzywą. Sumy Riemanna używają prostokątów, które przybliżają dość niechlujnie. Co jednak, gdy użyjemy do przybliżania trapezów?

Główna idea: Używając trapezów (czyli "metody trapezów") możemy przybliżać dokładniej niż używając prostokątów (czyli "sum Riemanna").

Przykład zastosowania metody trapezów

Sprawdźmy, jak działa metoda używając trzech trapezów do przybliżenia funkcji

f (x) = 3 \ln (x)

na przedziale

[2, 8]

Oto jak wygląda to na wykresie (pierwszy trapez nazywamy

T_{1}

, drugi

T_{2}

, a trzeci

T_{3}

Pamiętaj, że pole trapezu to

h (\frac{b_{1} + b_{2}}{2})

gdzie

h

to wysokość, a

b_{1}

b_{2}

to podstawy.

Szukanie pola $T_{1}$ ‍

Musimy spojrzeć na trapez tak, jakby leżał na boku

Wysokość

h

jest równa

2

dla

T_{1}

, gdyż leży na przedziale od

x = 2

x = 4

Pierwsza podstawa

b_{1}

to wartość

3 \ln (x)

w punkcie

x = 2

, która jest równa

3 \ln (2)

Druga podstawa

b_{2}

to wartość

3 \ln (x)

w punkcie

x = 4

, która jest równa

3 \ln (4)

Oto jak to wygląda na rysunku:

Skorzystajmy z tych danych do obliczenia pola

T_{1}

T_{1} = h (\frac{b_{1} + b_{2}}{2})

T_{1} = 2 (\frac{3 \ln (2) + 3 \ln (4)}{2})

Po uproszczeniu:

T_{1} = 3 (\ln (2) + \ln (4))

Szukanie pola $T_{2}$ ‍

Znajdźmy wysokość i obie podstawy:

h = 2

b_{1} = 3 \ln (4)

b_{2} = 3 \ln (6)

Po wstawieniu i uproszczeniu:

T_{2} = 3 (\ln (4) + \ln (6))

Szukanie pola $T_{3}$ ‍

T_{3} =

[Pokaż odpowiedź]

Szukanie całkowitego przybliżenia

Znajdujemy całkowitą powierzchnię po zsumowaniu pól wszystkich trzech trapezów:

Całkowite pole powierzchni = T_{1} + T_{2} + T_{3}

Odpowiedź po uproszczeniu to:

Całkowite pole powierzchni = 3 (\ln 2 + 2 \ln 4 + 2 \ln 6 + \ln 8)

Powinieneś teraz się zatrzymać i przebrnąć przez wszystkie wyrażenia, aby się upewnić, że zrozumiałeś, jak doszliśmy do wyniku!

Analiza matematyczna, wersja z 2017 r

Kurs: Analiza matematyczna, wersja z 2017 r > Rozdział 4

Zrozumienie metody trapezów

Przykład zastosowania metody trapezów

Szukanie pola $T_{1}$ ‍

Szukanie pola $T_{2}$ ‍

Szukanie pola $T_{3}$ ‍

Szukanie całkowitego przybliżenia

Zadanie

Wyzwanie

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Analiza matematyczna, wersja z 2017 r

Kurs: Analiza matematyczna, wersja z 2017 r > Rozdział 4

Przykład zastosowania metody trapezów

Szukanie pola T1‍

Szukanie pola T2‍

Szukanie pola T3‍

Szukanie całkowitego przybliżenia

Zadanie

Wyzwanie

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Szukanie pola $T_{1}$ ‍

Szukanie pola $T_{2}$ ‍

Szukanie pola $T_{3}$ ‍