Obliczanie trudniejszej całki oznaczonej

Dla dowolnej liczby rzeczywistej x, [x] oznacza największą liczbę całkowitą mniejszą, bądź równą x. Często mówi się o tym jako o części całkowitej. Niech f będzie funkcją z odcinka [-10,10] w liczby rzeczywiste i f(x)=x-[x] jeżeli [x] jest nieparzysta i 1+[x]-x jeżeli [x] jest parzysta. wtedy pi kwadrat przez 10 razy całka od -10 do 10 z f(x) cos(pi*x) równa się ...? Zanim zaczniemy liczyć tę całkę, spróbujmy sobie wyobrazić jak wygląda funkcja f(x). Narysuję oś x i oś y. I zastanowię się jak ta funkcja wygląda. Tu jest x=0, x=1,x=2, x=3, ...moglibyśmy iść w dół od -1, -3 i tak dalej. Mam nadzieję, że widzicie pewną zależność, że liczby zmieniają się z parzystych na nieparzyste. Więc pomiędzy 0 a 1 jaka jest część całkowita x? Więc pomiędzy 0 a 1 zanim dojdziemy do 1, więc może powinienem napisać z 0 do 1 (odcinek[0,1) ), część całkowita x jest równa 0. Jeżeli jest w 0,5 to część całkowita z 0,5 ([0,5]) jest równa 0. Gdy idę z 1 do 2, część całkowita, [x] = 1. część całkowita z 1,5 jest równa 1, tak samo jak w 1,9. Idąc z 2 do 3 część całkowita jest równa 2. Jeżeli jestem w 2,5 to część całkowita jest równa 2. Wiedząc to spróbujmy narysować funkcję na tych przedziałach. Pomiędzy 0 a 1 część całkowita jest równa 0. 0 uważamy za parzyste. -1 jest nieparzyste, 2 jest parzyste, 3 jest nieparzyste. Więc 0 jest parzyste, czyli [x] jest parzyste. Na tym odcinku osi x, część całkowita jest równa. Czy funkcja ma wartość 1-x na tym przedziale, bo [x]=0. 1-x wygląda tak. Czyli tak to wygląda pomiędzy 0 a 1. Jak wygląda f(x) na przedziale od 1 do 2. Na tym przedziale ( [1,2) ) część całkowita jest równa 1., czyli [x] jest nieparzyste. Czyli funkcja ma wartość x-[x]. Na tym przedziale [x]=1, czyli mamy wykres funkcji x-1. x-1 w 1 jest równe 0, a w 2 jest równe 1. Czyli to będzie wyglądało tak. To tuaj to x-1, a to w tym miejscu to 1-x. I możemy to kontynuować. Gdy idziemy z 2 do 3, [x]=2, czyli mamy ten przypadek. Będziemy mieli 1+2, czyli 3. Będziemy mieli 3 minus x. Więc gdy zaczniemy tutaj, gdy x=2, albo odrobinę więcej, będziemy mieli 3-2, czyli 1. A potem w x=3, mamy 3 - 3 =0. Czyli będzie to wyglądało w następujący sposób. Czyli mamy już przeczucie jak będzie wyglądał wykres tej funkcji. Będzie raz rósł, a potem malał, w taki sposób z nachyleniem wykresu -1 lub 1. potem znowu tak samo i tak dalej. Można zrobić tę samą operację na pozostałych przedziałach, ale myślę, że ta zależność jest w miarę jasna. Teraz chcemy obliczyć całkę od -10 do 10 z tej funkcji razy cos(pi*x). Zastanówmy się czy cos(pi*x) jest funkcją okresową? Oczywiście jest. Możliwe, że będziemy mogli uprościć tę całkę, tak, że nie będziemy jej liczyć po całym przedziale. Może będziemy ją mogli uprościć do prostszej całki. Czyli cos(pi*x), cos(0)=1. To jest cos(pi<i>0)=cos(0), czyli 1. Cos(pi)=-1, więc dla x=1, cos(pi</i>x)=cos(pi)=-1, czyli wartość funkcji jest -1. Potem mamy cos(pi*2)=1 (wartość funkcji w x=2). Czyli to będzie wyglądać tak. Tzn. tu będzie oczywiście 1/2, jeżeli wstawimy ją tu otrzymamy pi/2, cos(pi/2)=0.Czyli będzie to wyglądać tak. Narysuję to tak dokładnie jak to tylko możliwe. Czyli będzie wyglądać tak. I będzie się to powtarzało, i potem będzie wyglądało tak. Czyli również jest okresowa. Czyli jeżeli chcemy obliczyć całkę iloczynu dwóch funkcji okresowych na odcinku od -10 do 10, możemy to uprościć. Spójrzmy na ten odcinek. Spójrzmy tylko na odcinek od 0 do 1. Weźmiemy tę funkcję, a następnie weźmiemy iloczyn tego cosinusa przez (1-x), następnie znajdziemy powierzchnię pod tą krzywa, jakakolwiek by ona nie była. Gdy idziemy od 1 do 2, bierzemy iloczyn tego i (x-1) i to będzie dokładnie takie samo pole. Ponieważ na tych dwóch odcinkach, gdy idziemy od 0 do 1 i od 1 do 2, to jest to całkowicie symetryczne. Moglibyśmy to odbić względem tej osi symetrii I obie funkcje są całkowicie symetryczne czyli będziemy mieli to samo pole pod krzywą ich iloczynu. Widzimy więc, że na każdym odcinku, gdy idziemy od 2 do 3, to będzie... Po pierwsze, jest jasne, że całka od 2 do 3 będzie taka sama jak całka od 0 do 1, obie funkcje wyglądają identycznie, na tych przedziałach. Ale będzie również taka sama jak całka od 1 do 2, z powodu tej symetryczności. Jeżeli weźmiemy iloczyn tych funkcji, będzie symetryczny względem tej osi. Czyli całka stąd dotąd, będzie taka sama jak stąd dotąd. Czyli powiedziawszy to, możemy przekształcić to wyrażenie. Chcemy obliczyć pi do kwadratu przez 10 razy całka od -10 do 10 z f(x) razy cos(pi*x), posługując się tą samą logiką, co przed chwilą, to będzie równe pi do kwadratu przez 10 razy całka od 0 do 1, pomnożona przez 20. Dzieje się tak, ponieważ mamy 20 liczb całkowitych pomiędzy -10, a 10. Czyli mamy 20 odcinków długości 1. Czyli 20 razy całka od 0 do 1 z f(x) razy z f(x) razy cos(pi*x). Zapomniałem napisać dx tutaj. Chcę sie upewnić, że to rozumiecie, ponieważ to jest najtrudniejsza część tego zadania- spostrzeżenie, że całka na tym przedziale to 1/20 całego wyrażenie, które mamy obliczyć. Ponieważ wartość całki na odcinku od 0 do 1 będzie taka sama jak od 1 do 2 i taka sama jak całka od 2 do 3, albo od -2 do -1. Więc zamiast obliczać całkę od - 10 do 10 po prostu pomnożymy 20 razy całkę od 0 do 1. Pomiędzy -10, a 10 jest różnica 20, dlatego mnożymy przez 20 (mamy 20 odcinków).I to się nam bardzo upraszcza.Po pierwsze, tutaj mamy 20 przez 10 równa się 2. Mamy więc 2 pi do kwadratu, to jest ta część, razy całka od 0 do 1. Jak wygląda f(x) na odcinku od 0 do 1? Przed chwilą to ustaliliśmy. Od 0 do 1 f(x) to po prostu (1-x), od 0 do 1 razy cos(pi*x) dx. Musimy teraz obliczyć tę całkę. Zróbmy to. Czyli (1-x) razy cos(pi*x) równa się cos(pi<i>x)-xcos(pi</i>x). Zajmiemy się najpierw tą częścią, ponieważ jest ona bardziej skomplikowana. Znajdźmy funkcje pierwotną x cos(pi*x), i myślicie sobie, że to nie jest takie proste, ale jeżeli moglibyśmy wziąć pochodną x, to bardzo by się nam uprościło, i byłoby łatwo znaleźć funkcje pierwotną cos(pi*x). Zróbmy więc całkowanie przez części. Pamiętacie, że całkowanie przez części, zapiszę to tutaj, całka z u dv równa się uv minus całka z v du. I zastosujemy to tutaj. Zrobiłem kilka filmików, gdzie to udowodniłem i pokazałem kilka przykładów. Zastosujmy to tutaj. Będziemy brali pochodną u, czymkolwiek to u jest. Chcemy więc, aby u było czymś, co staje się prostsze po wzięciu pochodnej. Weźmiemy potem funkcje pierwotną dv, więc chcemy, aby v było czymś, co nie staje się bardziej skomplikowane po wzięciu funkcji pierwotnej. x staje się prostsze po wzięciu pochodnej, czyli u=x, wtedy du=dx, zatem dv będzie pozostałą częścią naszego wyrażenia. To wszystko to będzie dv. dv równa się cos(pi*x) dx, czyli v będzie funkcja pierwotną tego, względem x, zatem v będzie równe. 1 przez pi razy sin (pi*x). ZZgadzacie się? Jeżeli wezmę pochodną tego, pochodna funkcji wewnętrznej dostajemy pi razy 1/pi skracają się, a pochodna funkcji zewnętrznej staje się cos(pi*x). Czyli to jest nasze v. Czyli to będzie równe u razy v, czyli równe x razy to, czyli x przez pi razy sin(pi*x) minus całka z v, czyli całka z 1/pi razy sin(pi<i>x) du. A du to po prostu dx. To jest całkiem proste. Funkcja pierwotna sin(pi</i>x) to minus 1/pi razy cos(pi*x). Możecie sobie obliczyc pochodną, jeżeli mi nie wierzycie. Możecie zrobić podstawienie, ale mam nadzieję, że zaczynacie już robić takie rzeczy w pamięci. Zwłaszcza jeżeli zamierzacie przystąpić do egzaminów wstępnych IIT. Czyli całe to wyrażenie będzie równe ta część tutaj będzie równa x przez pi razy sin(pi*x), a to tutaj będzie równe minus 1/pi razy 1/pi cos(pi*x). Minusy się skracają, czyli mamy plus, a 1/pi razy 1/pi daje nam 1/pi do kwadratu cos(pi<i>x). To jest funkcja pierwotna tego. Możecie sobie sprawdzić. Pochodna cos(pi</i>x) będzie równa minus pi sin(pi*x), jedno pi się skróci, dostajemy minus i mamy sin(pi*x). Jeżeli chcemy funkcję pierwotną tego całego wyrażenia w granicach od 0 do 1. Funkcja pierwotna cos(pi*x) jest prosta, i już ją obliczyliśmy. Jest równa 1/pi razy sin(pi<i>x), to jest pierwszy składnik i funkcja pierwotna z xcos(pi</i>x) jest tuaj ale ją odejmujemy, więc wstawiam minus przed wszystko. Czyli minus x/pi sin(pi*x) minus 1/pi do kwadratu razy cosinus (pi*x). Znaleźliśmy funkcję pierwotną, ale mieliśmy obliczyć całkę oznaczoną. Musimy zatem znaleźć wartość tego w 0 i 1. Nie możemy zapomnieć, że przed tym wszystkim stoi 2 pi do kwadratu. Przed wszystkim jest 2 pi do kwadratu. Znajdźmy więc te wartości. Najpierw mamy: 1/pi sin(1*pi), sin(pi)=0, czyli to jest 0. 1/pi razy sin(1/pi) i to znowu jest 0! minus 1/pi do kwadratu cos(pi), cos(pi)=-1, czyli (-1) razy minus 1/pi do kwadratu plus 1/pi do kwadratu. Czyli znaleźliśmy wartość w 1. Teraz od tego odejmujemy wartość w 0. sin(0)=0, minus, to oczywiście będzie 0, ponieważ mnożymy przez 0 na początku, potem mamy minus cos(0), cos(0)=1, czyli mamy -1 przez pi do kwadratu, 1 przez pi do kwadratu, czyli te czynniki się skracają. Możemy powiedzieć, że ten składnik jest ujemny, ten nie ma znaczenia, ujemny, dodatni i dodatni, i zostaje nam po prostu 1 przez pi do kwadratu plus 1 przez pi do kwadratu to się równa 2 przez pi do kwadratu. Czyli to ma wartość 2 przez pi do kwadratu. Nie możemy zapomnieć, że mnożymy to jeszcze przez 2 razy pi do kwadratu. Czyli pomnożymy to przez 2 pi do kwadratu. To jest tu na początku. Czyli pi do kwadratu się skraca, i zostaje nam 2 razy 2 czyli 4. Skończyliśmy. To całkiem skomplikowane wyrażenie ma po prostu wartość 4.