If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Podsumowanie wiadomości na temat różniczkowania funkcji potęgowych

Powtórz sobie, co wiesz o różniczkowaniu funkcji potęgowej i wykorzystaj te wiadomości do rozwiązania kilku zadań.

Jak obliczyć pochodną potęgi x?

Pochodna potęgi to pochodna wyrażeń typu x, start superscript, n, end superscript (innymi słowy, wyrażeń z x podniesionym do dowolnej potęgi):
start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, x, start superscript, n, end superscript, equals, n, dot, x, start superscript, n, minus, 1, end superscript
Zasadniczo, mnożysz wyrażenie przez wykładnik potęgi i obniżasz potęgę o 1.
Chcesz wiedzieć więcej o pochodnej potęgi? Obejrzyj ten film.

Pochodna wielomianu

Znajomość pochodnej potęgi wraz z innymi podstawowymi regułami różniczkowania umożliwia nam obliczenie pochodnej dowolnego wielomianu. Rozważmy dla przykładu jednomian 3, x, start superscript, 7, end superscript. Możemy zróżniczkować go w następujący sposób:
ddx[3x7]=3ddx(x7)Pochodna iloczynu stałej i funkcji=3(7x6)Pochodna potęgi=21x6\begin{aligned} \dfrac{d}{dx}[3x^7]&=3\dfrac{d}{dx}(x^7)\quad\gray{\text{Pochodna iloczynu stałej i funkcji}} \\\\ &=3(7x^6)\quad\gray{\text{Pochodna potęgi}} \\\\ &=21x^6 \end{aligned}
zadanie 1
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, start superscript, 5, end superscript, plus, 2, x, cubed, minus, x, squared
f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Różniczkowanie potęg ujemnych

Pochodna potęgi działa również przy różniczkowaniu wyrażeń takich jak start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction, czyli x podniesionego do ujemnej potęgi. Zobaczmy, jak oblicza się pochodną start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction:
ddx(1x2)=ddx(x2)Zapisz jako potęgę=2x3Pochodna potęgi=2x3Zapisz jako ułamek\begin{aligned} \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{x^2}\right)&=\dfrac{d}{dx}(x^{-2})\quad\gray{\text{Zapisz jako potęgę}} \\\\ &=-2\cdot x^{-3}\quad\gray{\text{Pochodna potęgi}} \\\\ &=-\dfrac{2}{x^3}\quad\gray{\text{Zapisz jako ułamek}} \end{aligned}
zadanie 1
start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, start fraction, minus, 2, divided by, x, start superscript, 4, end superscript, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, x, cubed, end fraction, minus, x, right parenthesis, equals

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Obliczanie pochodnych potęg ułamkowych i pierwiastków

Pochodna potęgi może również być zastosowana do obliczania pochodnych wyrażeń takich jak square root of, x, end square root lub x, start superscript, start superscript, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, end superscript, end superscript. Zobacz, jak oblicza się pochodną square root of, x, end square root:
ddxx=ddx(x12)Zapisz w postaci potęgi=12x12Pochodna potęgi=12xZapisz w postaci pierwiastka\begin{aligned} \dfrac{d}{dx}\sqrt x&=\dfrac{d}{dx}\left(x^{^{\Large\frac{1}{2}}}\right)\quad\gray{\text{Zapisz w postaci potęgi}} \\\\ &=\dfrac{1}{2}\cdot x^{^{\Large-\frac{1}{2}}}\quad\gray{\text{Pochodna potęgi}} \\\\ &=\dfrac{1}{2\sqrt x}\quad\gray{\text{Zapisz w postaci pierwiastka}} \end{aligned}
zadanie 1
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 6, x, start superscript, start superscript, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, end superscript, end superscript
f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tych ćwiczeń: