Główna zawartość

Kurs: Analiza matematyczna, wersja z 2017 r > Rozdział 2

Lekcja 14: Różniczkowanie funkcji pierwiastkowych (wprowadzenie)

Podsumowanie wiadomości na temat różniczkowania funkcji potęgowych

Powtórz sobie, co wiesz o różniczkowaniu funkcji potęgowej i wykorzystaj te wiadomości do rozwiązania kilku zadań.

Jak obliczyć pochodną potęgi $x$ ‍?

Pochodna potęgi to pochodna wyrażeń typu

x^{n}

(innymi słowy, wyrażeń z

x

podniesionym do dowolnej potęgi):

\frac{d}{d x} x^{n} = n \cdot x^{n - 1}

Zasadniczo, mnożysz wyrażenie przez wykładnik potęgi i obniżasz potęgę o

1

Chcesz wiedzieć więcej o pochodnej potęgi? Obejrzyj ten film.

Pochodna wielomianu

Znajomość pochodnej potęgi wraz z innymi podstawowymi regułami różniczkowania umożliwia nam obliczenie pochodnej dowolnego wielomianu. Rozważmy dla przykładu jednomian

3 x^{7}

. Możemy zróżniczkować go w następujący sposób:

\begin{aligned} \frac{d}{d x} [3 x^{7}] & = 3 \frac{d}{d x} (x^{7}) Pochodna iloczynu stałej i funkcji \\ = 3 (7 x^{6}) Pochodna potęgi \\ = 21 x^{6} \end{aligned}

zadanie 1

f (x) = x^{5} + 2 x^{3} - x^{2}

f^{'} (x) =

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Różniczkowanie potęg ujemnych

Pochodna potęgi działa również przy różniczkowaniu wyrażeń takich jak

\frac{1}{x^{2}}

, czyli

x

podniesionego do ujemnej potęgi. Zobaczmy, jak oblicza się pochodną

\frac{1}{x^{2}}

\begin{aligned} \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}}) & = \frac{d}{d x} (x^{- 2}) Zapisz jako potęgę \\ = - 2 \cdot x^{- 3} Pochodna potęgi \\ = - \frac{2}{x^{3}} Zapisz jako ułamek \end{aligned}

zadanie 1

\frac{d}{d x} (\frac{- 2}{x^{4}} + \frac{1}{x^{3}} - x) =

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Obliczanie pochodnych potęg ułamkowych i pierwiastków

Pochodna potęgi może również być zastosowana do obliczania pochodnych wyrażeń takich jak

\sqrt{x}

lub

x^{^{\frac{2}{3}}}

. Zobacz, jak oblicza się pochodną

\sqrt{x}

\begin{aligned} \frac{d}{d x} \sqrt{x} & = \frac{d}{d x} (x^{^{\frac{1}{2}}}) Zapisz w postaci potęgi \\ = \frac{1}{2} \cdot x^{^{- \frac{1}{2}}} Pochodna potęgi \\ = \frac{1}{2 \sqrt{x}} Zapisz w postaci pierwiastka \end{aligned}

zadanie 1

f (x) = 6 x^{^{\frac{2}{3}}}

f^{'} (x) =

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tych ćwiczeń:

Pochodne potęg ułamkowych
Radical functions differentiation intro

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Analiza matematyczna, wersja z 2017 r

Kurs: Analiza matematyczna, wersja z 2017 r > Rozdział 2

Jak obliczyć pochodną potęgi x‍ ?

Pochodna wielomianu

Różniczkowanie potęg ujemnych

Obliczanie pochodnych potęg ułamkowych i pierwiastków

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Jak obliczyć pochodną potęgi $x$ ‍?