Główna zawartość

8. klasa

Kurs: 8. klasa > Rozdział 3

Lekcja 5: Wprowadzenie do postaci kierunkowej

Wprowadzenie do postaci kierunkowej

Dowiedz się co to jest postać kierunkowa równania liniowego z dwiema zmiennymi oraz jak ją interpretować żeby znaleźć nachylenie i przecięcie z osią Y prostej.

Co powinno się wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Powinieneś wiedzieć, co to są równania z dwiema niewiadomymi Dokładniej, powinieneś wiedzieć, że wykres takiego równaniajest prostą (jeśli jest to dla Ciebie nowe sprawdź nasz artykuł wstęp do równań liniowych z dwiema niewiadomymi).
Powinieneś znać i rozumieć pojęcia takie, jak: punkt przecięcia z osią $Y$ ‍, punkt przecięcia z osią $X$ ‍ oraz nachylenie/współczynnik kierunkowy.

Czego nauczysz się w tej lekcji

Jak wygląda postać kierunkowa równania liniowego z dwiema niewiadomymi.
Jak znaleźć współczynnik kierunkowy i punkt przecięcia z osią $Y$ ‍ danej prostej, znając jej postać kierunkową
Jak znaleźć równanie prostej znając jej współczynnik kierunkowy oraz punkt przecięcia z osią $Y$ ‍

Jak wygląda równanie prostej w postaci kierunkowej?

Postać kierunkowa to szczególna postać równań liniowych. Ma następującą ogólną strukturę (bicie bębnów....):

y = m x + b

Tutaj,

m

b

mogą być dowolnymi dwiema liczbami rzeczywistymi. Na przykład, to są równania liniowe w postaci kierunkowej:

$y = 2 x + 1$ ‍
$y = - 3 x + 2, 7$ ‍
$y = 10 - 100 x$ ‍
[Zaraz, to równanie ma na końcu x!]

Z drugiej strony, poniższe równania liniowe nie są przedstawione w postaci kierunkowej:

$2 x + 3 y = 5$ ‍
$y - 3 = 2 (x - 1)$ ‍
$x = 4 y - 7$ ‍

Postać kierunkowa to jedna z najważniejszych postaci równań liniowych. Przyjrzyjmy się bliżej, dlaczego tak jest.

Współczynniki w postaci kierunkowej

Poza tym, że postać kierunkowa jest zgrabna i uproszczona, jej zaletą jest to, że podaje nam dwie główne informacje na temat prostej, która ją przedstawia:

Nachylenie wynosi $m$ ‍.
Współrzędna $y$ ‍ przecięcia z osią $Y$ ‍ to $b$ ‍. Innymi słowy, prosta przecina oś $Y$ ‍ w punkcie $(0, b)$ ‍.

Na przykład, prosta

y = 2 x + 1

ma nachylenie równe

2

i przecięcie z osią

Y

w punkcie

(0, 1)

Fakt, że ta postać od razu daje nam przecięcie z osią

Y

oraz wartość nachylenia funkcji, a przez to jej kierunek jest przyczyną nazwy postać kierunkowa funkcji!

Sprawdź, czy rozumiesz

zadanie 1

Ile wynosi nachylenie prostej opisanej równaniem $y = 5 x - 7$ ‍?

Zadanie 2

Ile wynosi nachylenie prostej opisanej równaniem $y = x + 9$ ‍?

Zadanie 3

Jaki jest punkt przecięcia z osią $Y$ ‍ prostej opisanej równaniem $y = - 6 x - 11$ ‍?

Zadanie 4

Jaki jest punkt przecięcia z osią $Y$ ‍ prostej opisanej równaniem $y = 4 x$ ‍?

Zadanie 5

Ile wynosi nachylenie prostej opisanej równaniem $y = 1 - 8 x$ ‍?

Zadanie 6

Które proste przecinają oś $Y$ ‍ w punkcie $(0, 4)$ ‍?

Pytanie do zastanowienia

Jak wyznaczyć współczynnik kierunkowy prostej podanej w postaci kierunkowej?

Wyzwanie 1

Które z poniższych równań może opisywać prostą na rysunku?

Wyzwanie 2

Napisz równanie prostej, której współczynnik kierunkowy wynosi $10$ ‍ i która przecina oś $Y$ ‍ tw punkcie o współrzędnych $(0, - 20)$ ‍.

Dlaczego to działa?

Możesz się zastanawiać, jak to jest, że

m

określa nachylenie prostej, a

b

punkt przecięcia z osią

Y

Czy to jest jakaś magia? Nie, zdecydowanie nie jest to dzieło magii. W matematyce wszystko ma wyjaśnienie. W tym rozdziale postaramy się wyjaśnić te właściwości, korzystając z

y = 2 x + 1

jako przykładu.

Dlaczego $b$ ‍ wyznacza punkt przecięcia z osią $Y$ ‍

W punkcie przecięcia z osią

Y

współrzędna

x

jest zawsze zero. Więc jeżeli chcemy znaleźć punkt przecięcia z osią

Y

prostej

y = 2 x + 1

, musimy podstawić

x = 0

i rozwiązać równanie ze względu na

y

\begin{aligned} y & = 2 x + 1 \\ = 2 \cdot 0 + 1 & Podstaw x = 0 \\ = 0 + 1 \\ = 1 \end{aligned}

Widzimy, że w punkcie przecięcia z osią

Y

2 x

wynosi zero i zatem zostaje nam tylko

y = 1

[Chcę zobaczyć dowód przy użyciu ogólnej postaci y=mx+b!]

Dlaczego $m$ ‍ jest współczynnikiem kierunkowym?

Przypomnijmy sobie, czym właściwie jest współczynnik kierunkowy prostej. Jest to stosunek zmiany

y

przez zmianę

x

między dowolnymi dwoma punktami na prostej.

Współczynnik kierunkowy = \frac{Zmiana y}{Zmiana x}

Biorąc dwa punkty, między którymi

x

zmienia się dokładnie o

1

otrzymamy, że zmiana

y

będzie równa współczynnikowi kierunkowemu.

Współczynnik kierunkowy = \frac{Zmiana y}{1} = Zmiana y

Spójrzmy teraz co się dzieje z wartościami

y

w równaniu

y = 2 x + 1

gdy zwiększamy wartości

x

-ów ciągle co

1

jednostkę.

$x$ ‍	$y$ ‍
$0$ ‍	$1 + 0 \cdot 2$ ‍	$= 1$ ‍
$1$ ‍	$1 + 1 \cdot 2$ ‍	$= 1 + 2$ ‍
$2$ ‍	$1 + 2 \cdot 2$ ‍	$= 1 + 2 + 2$ ‍
$3$ ‍	$1 + 3 \cdot 2$ ‍	$= 1 + 2 + 2 + 2$ ‍
$4$ ‍	$1 + 4 \cdot 2$ ‍	$= 1 + 2 + 2 + 2 + 2$ ‍

Widzimy, że za każdym razem przy zwiększeniu

x

1

jednostkę,

y

zwiększa się o

2

jednostek. Powodem tego jest to, że

x

określa wielokrotność

2

przy obliczaniu

y

Jak wspomnieliśmy wcześniej, zmiana

y

odpowiadająca zmianie

x

1

jednostkę jest równa współczynnikowi kierunkowemu prostej. To z tego powodu

2

jest współczynnikiem kierunkowym prostej.

[Chcę zobaczyć dowód przy użyciu ogólnej postaci y=mx+b!]

Wyzwanie 3

Uzupełnij równanie tej prostej.

y =

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.