If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

8. klasa

Kurs: 8. klasa > Rozdział 3

Lekcja 5: Wprowadzenie do postaci kierunkowej
Matematyka
8. klasa
Równania i funkcje liniowe
Wprowadzenie do postaci kierunkowej
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie

Wprowadzenie do postaci kierunkowej

Google Classroom
Dowiedz się co to jest postać kierunkowa równania liniowego z dwiema zmiennymi oraz jak ją interpretować żeby znaleźć nachylenie i przecięcie z osią Y prostej.

Co powinno się wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Czego nauczysz się w tej lekcji

  • Jak wygląda postać kierunkowa równania liniowego z dwiema niewiadomymi.
  • Jak znaleźć współczynnik kierunkowy i punkt przecięcia z osią Y danej prostej, znając jej postać kierunkową
  • Jak znaleźć równanie prostej znając jej współczynnik kierunkowy oraz punkt przecięcia z osią Y

Jak wygląda równanie prostej w postaci kierunkowej?

Postać kierunkowa to szczególna postać równań liniowych. Ma następującą ogólną strukturę (bicie bębnów....):
y, equals, start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, b, end color #0d923f
Tutaj, start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6 i start color #0d923f, b, end color #0d923f mogą być dowolnymi dwiema liczbami rzeczywistymi. Na przykład, to są równania liniowe w postaci kierunkowej:
  • y, equals, 2, x, plus, 1
  • y, equals, minus, 3, x, plus, 2, comma, 7
  • y, equals, 10, minus, 100, x
Z drugiej strony, poniższe równania liniowe nie są przedstawione w postaci kierunkowej:
  • 2, x, plus, 3, y, equals, 5
  • y, minus, 3, equals, 2, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis
  • x, equals, 4, y, minus, 7
Postać kierunkowa to jedna z najważniejszych postaci równań liniowych. Przyjrzyjmy się bliżej, dlaczego tak jest.

Współczynniki w postaci kierunkowej

Poza tym, że postać kierunkowa jest zgrabna i uproszczona, jej zaletą jest to, że podaje nam dwie główne informacje na temat prostej, która ją przedstawia:
  • Nachylenie wynosi start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6.
  • Współrzędna y przecięcia z osią Y to start color #0d923f, b, end color #0d923f. Innymi słowy, prosta przecina oś Y w punkcie left parenthesis, 0, comma, start color #0d923f, b, end color #0d923f, right parenthesis.
Na przykład, prosta y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, start color #0d923f, plus, 1, end color #0d923f ma nachylenie równe start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 i przecięcie z osią Y w punkcie left parenthesis, 0, comma, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, right parenthesis:
Fakt, że ta postać od razu daje nam przecięcie z osią Y oraz wartość nachylenia funkcji, a przez to jej kierunek jest przyczyną nazwy postać kierunkowa funkcji!

Sprawdź, czy rozumiesz

zadanie 1
Ile wynosi nachylenie prostej opisanej równaniem y, equals, 5, x, minus, 7?
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Zadanie 2
Ile wynosi nachylenie prostej opisanej równaniem y, equals, x, plus, 9?
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Zadanie 3
Jaki jest punkt przecięcia z osią Y prostej opisanej równaniem y, equals, minus, 6, x, minus, 11?
Wybierz 1 odpowiedź:

Zadanie 4
Jaki jest punkt przecięcia z osią Y prostej opisanej równaniem y, equals, 4, x?
Wybierz 1 odpowiedź:

Zadanie 5
Ile wynosi nachylenie prostej opisanej równaniem y, equals, 1, minus, 8, x?
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Zadanie 6
Które proste przecinają oś Y w punkcie left parenthesis, 0, comma, 4, right parenthesis?
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

Pytanie do zastanowienia
Jak wyznaczyć współczynnik kierunkowy prostej podanej w postaci kierunkowej?
Wybierz 1 odpowiedź:

Wyzwanie 1
Które z poniższych równań może opisywać prostą na rysunku?
Wybierz 1 odpowiedź:

Wyzwanie 2
Napisz równanie prostej, której współczynnik kierunkowy wynosi 10 i która przecina oś Y tw punkcie o współrzędnych left parenthesis, 0, comma, minus, 20, right parenthesis.

Dlaczego to działa?

Możesz się zastanawiać, jak to jest, że start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6 określa nachylenie prostej, a start color #0d923f, b, end color #0d923f punkt przecięcia z osią Y.
Czy to jest jakaś magia? Nie, zdecydowanie nie jest to dzieło magii. W matematyce wszystko ma wyjaśnienie. W tym rozdziale postaramy się wyjaśnić te właściwości, korzystając z y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, 1, end color #0d923f jako przykładu.

Dlaczego start color #0d923f, b, end color #0d923f wyznacza punkt przecięcia z osią Y

W punkcie przecięcia z osią Y współrzędna x jest zawsze zero. Więc jeżeli chcemy znaleźć punkt przecięcia z osią Y prostej y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, musimy podstawić x, equals, 0 i rozwiązać równanie ze względu na y.
y=2x+1=2⋅0+1Podstaw x=0=0+1=1\begin{aligned} y&=\maroonC{2}x+\greenE{1} \\\\ &=\maroonC{2}\cdot 0+\greenE{1}&\gray{\text{Podstaw }x=0} \\\\ &=0+\greenE{1} \\\\ &=\greenE{1} \end{aligned}
Widzimy, że w punkcie przecięcia z osią Y, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x wynosi zero i zatem zostaje nam tylko y, equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f.

Dlaczego start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6 jest współczynnikiem kierunkowym?

Przypomnijmy sobie, czym właściwie jest współczynnik kierunkowy prostej. Jest to stosunek zmiany y przez zmianę x między dowolnymi dwoma punktami na prostej.
start text, W, s, p, o, with, \', on top, ł, c, z, y, n, n, i, k, space, k, i, e, r, u, n, k, o, w, y, end text, equals, start fraction, start text, Z, m, i, a, n, a, space, end text, y, divided by, start text, Z, m, i, a, n, a, space, end text, x, end fraction
Biorąc dwa punkty, między którymi x zmienia się dokładnie o 1 otrzymamy, że zmiana y będzie równa współczynnikowi kierunkowemu.
start text, W, s, p, o, with, \', on top, ł, c, z, y, n, n, i, k, space, k, i, e, r, u, n, k, o, w, y, end text, equals, start fraction, start text, Z, m, i, a, n, a, space, end text, y, divided by, 1, end fraction, equals, start text, Z, m, i, a, n, a, space, end text, y
Spójrzmy teraz co się dzieje z wartościami y w równaniu y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, 1, end color #0d923f gdy zwiększamy wartości x-ów ciągle co 1 jednostkę.
xy
0start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 0, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f
1start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 1, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6
2start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 2, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6
3start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 3, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6
4start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 4, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6
Widzimy, że za każdym razem przy zwiększeniu x o 1 jednostkę, y zwiększa się o start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 jednostek. Powodem tego jest to, że x określa wielokrotność start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 przy obliczaniu y.
Jak wspomnieliśmy wcześniej, zmiana y odpowiadająca zmianie x o 1 jednostkę jest równa współczynnikowi kierunkowemu prostej. To z tego powodu start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 jest współczynnikiem kierunkowym prostej.
Wyzwanie 3
Uzupełnij równanie tej prostej.
y, equals

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się
Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.