Własności iloczynu potęg

W tym odcinku przedstawię kilka przykładów związanych z własnościami potęgowania, ale zanim zacznę, przypomnijmy sobie, czym w ogóle jest potęgowanie. Mam tu, powiedzmy, 2 do potęgi 3. Kusi was, by krzyknąć: „To 6!”, a ja odpowiem: „Wcale nie! To znaczy, że dwójkę trzeba pomnożyć przez siebie 3 razy”. Jest to więc równe 2 razy 2 razy 2. Czyli, razem… 2 razy 2 to 4… a 4 razy 2 równa się 8. A gdybym was spytał, ile to jest 3 do potęgi 2 (czyli do kwadratu)? Trójkę trzeba dwukrotnie pomnożyć przez siebie. To równa się 3 razy 3, czyli 9. Nowy przykład. Myślę, że już chwytacie sens, nawet jeśli to dla was nowość. Powiedzmy, że mam… no, nie wiem… 5 podniesione do potęgi 7. Piątkę trzeba pomnożyć przez siebie 7 razy. 5 razy 5 razy 5 razy 5 razy 5 razy 5… i jeszcze razy 5. To 7, zgadza się? 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Uzyskamy bardzo, bardzo dużą liczbę. Nie obliczę jej teraz. Zróbcie to na piechotę albo weźcie kalkulator. Liczba jest naprawdę ogromna! Od razu się zorientujecie, że potęga rośnie niezmiernie szybko. 5 do potęgi 17 byłoby liczbą znacznie większą. Przypomnieliśmy sobie potęgowanie, zmierzmy się z wyrażeniami zawierającymi potęgi. Ile to będzie? 3x… Wezmę inny kolor. Ile to będzie, 3x pomnożone przez 3x pomnożone przez 3x? O mnożeniu trzeba pamiętać to, że kolejność nie ma w nim znaczenia. Dlatego to jest to samo, co 3 razy 3 razy 3… razy „x” razy „x” razy „x”. I, na podstawie tego, co właśnie powtórzyliśmy, ta część: 3 razy 3 razy 3 to jest 3 do sześcianu. A to, co jest tu: „x” pomnożony trzykrotnie przez siebie, to „x” do sześcianu. Całość możemy zapisać w postaci 3³ razy x³, lub, jeśli wiecie, ile to jest 3³… To 9 razy 3, czyli 27. Mamy więc 27 razy x³. Powiecie może: „Zaraz, 3x razy 3x razy 3x… czy to aby nie jest (3x) do potęgi 3?”. Mnożymy „3x” przez siebie 3 razy. A ja odpowiem: „Zgadza się!”. Zatem to, co mamy tu, można zinterpretować jako (3x) do potęgi trzeciej. I trafiamy na jedną z własności potęgowania. Zauważcie: gdy mam podnieść do sześcianu coś razy coś, to mogę najpierw podnieść czynniki do sześcianu, a potem pomnożyć. Zatem (3x)³ jest równe 3³ razy x³. …razy x³. Czyli 27 razy x³. Rozwiążmy jeszcze parę przykładów. A gdybym was zapytał… Gdybym zapytał, ile to jest 6³ pomnożone przez 6⁶? Liczba będzie ogromna, ale chcę tylko zapisać ją jako potęgę sześciu. Najpierw zapiszę 6⁶ innym kolorem. 6 do… 6³ pomnożone przez 6⁶, ile to będzie się równało? 6³… wiemy, że to 6 pomnożone przez siebie 3 razy. Czyli 6 razy 6 razy 6. I to jeszcze pomnożymy… Znak mnożenia jest zielony. Wezmę zieleń… Albo zapiszę to na pomarańczowo. Będziemy więc mieli… razy 6⁶. A ile to jest, 6⁶? To 6 pomnożone przez siebie sześciokrotnie! Czyli 6 razy 6 razy 6 razy 6 razy 6… Jest już pięć, i jeszcze raz, jest 6. Jaki będzie cały wynik? To wszystko… mnożymy 6 przez siebie ile razy? 1, 2, 3, 4, 5, 6… 7, 8 i 9 razy, tak? Trzykrotnie tutaj i sześciokrotnie tu. Czyli szóstkę mnożymy przez siebie 9 razy. 3 plus 6. To jest więc równe 6 do potęgi (3 + 6). Czyli 6 do potęgi 9. I trafiliśmy na kolejną własność potęgowania. Gdy mamy potęgę, jak tu 6³, to 6 jest podstawą. Podnosimy podstawę do potęgi trzeciej. Kiedy zaś mamy pomnożyć potęgi o tej samej podstawie, możemy dodać wykładniki. Jeśli mam… Rozwiążę jeszcze parę przykładów. Mam tu… Napiszę to na różowo. Powiedzmy, że mam 2 kwadrat razy 2 do potęgi 4, razy 2 do potęgi 6. Wszędzie jest ta sama podstawa, mogę więc dodać wykładniki. To będzie równe: 2 do potęgi (2 + 4 + 6). A to jest równe 2 do potęgi 12. I to ma sens, bo uzyskamy 2 razy… 2 pomnożone przez siebie dwukrotnie… czterokrotnie… i sześciokrotnie. Łącznie dwójkę pomnożymy przez siebie 12 razy. Stąd 2¹². Teraz weźmy nieco bardziej abstrakcyjny przykład. Użyjemy zmiennych, ale zasada pozostanie ta sama. Ile to jest: x², czyli do kwadratu, razy x do potęgi czwartej? Możemy skorzystać z nowo poznanej własności. Ta sama podstawa, „x”… więc tu będzie „x” do potęgi (2 + 4), czyli po prostu „x” do potęgi 6. Jeśli mi nie wierzycie… Ile to jest, x²? Otóż x² jest równe „x” razy „x”. Jeśli chcecie pomnożyć to przez x⁴, to mnożycie przez „x” pomnożone przez siebie 4 razy. Czyli „x” razy „x” razy „x” razy „x”. Ile razy mnożycie „x” przez „x”? Cóż… 1, 2, 3, 4, 5, 6 razy! To „x” do potęgi szóstej. I jeszcze jeden przykład. Myślę, że im więcej zobaczycie przykładów, tym lepiej. Dla odmiany zajmijmy się inną własnością. Powiedzmy, że mam… a³, „a” do sześcianu i jeszcze do potęgi czwartej. Powiem, z której własności skorzystać i dlaczego. Gdy mam potęgę i podnoszę ją do innej potęgi, mogę pomnożyć wykładniki. Czyli mam „a” do potęgi (3 · 4) albo „a” do potęgi 12. A dlaczego to działa? Wszystko tutaj… Tutaj mamy a³ pomnożone przez siebie 4 razy. Jest to więc równe: a³ razy a³ razy a³ razy a³. Podstawa jest ta sama, więc dodajemy wykładniki. Czyli mamy tu „a” do potęgi (3 · 4). Innymi słowy, „a” do potęgi 3 plus 3 plus 3 plus 3. To jest to samo, co „a” do potęgi (3 · 4). Więc „a” do potęgi 12. Przypomnijmy sobie własności poznane w tym odcinku… oprócz przypomnienia, czym w ogóle jest potęga. Gdy mam coś… powiedzmy, że „x” do potęgi „a” razy „x” do potęgi „b”, to całość będzie równa „x” do potęgi (a + b). Widzieliśmy to tutaj. Widzieliśmy, że x² · x⁴ = x⁶. To „x” do potęgi (2 + 4). Widzieliśmy też, że jeśli mam „x” razy „y” podniesione do potęgi „a”, to jest to równe „x” do potęgi „a” razy „y” do potęgi „a”. Widzieliśmy to w tym odcinku. Widzieliśmy to tutaj. (3x)³ jest to samo, co 3³ razy x³. I to samo mamy tutaj. (3x)³ równa się 3³ razy x³. Ostatnia własność, na którą się natknęliśmy, głosi, że gdy mamy „x” do potęgi „a” i musimy to podnieść do potęgi „b”, to równie dobrze możemy podnieść „x” do potęgi (a · b). Widzieliśmy to tutaj: a³ podniesione do potęgi 4 jest to samo, co „a” do potęgi (3 · 4) czyli a¹². Użyjmy więc tych własności, aby rozwiązać parę… powiedziałbym, bardziej złożonych zadań. Powiedzmy, że mam… No, nie wiem. Mam… Zrobiłbym coś bardziej… Powiedzmy, że mam… 2 razy „x” razy „y” kwadrat razy (-x² razy „y”) podniesione do kwadratu, razy 3x² razy y². Uprośćmy to wszystko. Najlepiej będzie zacząć… Spójrzmy. Może uprościmy to. To można uznać za (-1) razy x² razy y². Gdy mamy podnieść to wszystko do kwadratu, to możemy najpierw podnieść do kwadratu każdy czynnik. Tę część można uprościć do… (-1)² razy „x” do kwadratu… do kwadratu… pomnożone przez „y” do kwadratu. Upraszczamy: (-1)² to po prostu 1, zaś (x²)²… Pamiętajcie, mnożymy wykładniki. Będziemy więc tu mieli x⁴y². Tak upraszcza się środkowa część. Połączmy ją z innymi częściami. Te części to, przypomnę: 2xy² oraz 3x² pomnożone przez y². Teraz musimy to wszystko pomnożyć. Wiemy już, że w mnożeniu kolejność nie ma znaczenia. Poprzestawiam to: 2 · x · y² · x⁴ · y² · 3 · x² · y². Mogę poprzestawiać czynniki i zrobię to. Żeby było łatwiej uprościć. Mogę więc pomnożyć 2 przez 3… A teraz zajmę się iksami. W tym kolorze. Mam więc: razy „x”… razy „x” do potęgi czwartej… razy „x” do kwadratu. Razy „x” kwadrat. A teraz igreki. …razy „y” kwadrat… „y” kwadrat… i znów razy „y” kwadrat i jeszcze raz y². Igrek kwadrat. Czemu się równa to wszystko? 2 razy 3, to umiecie… Wynik wynosi 6. A ile to jest: x razy x⁴ razy x²? Pamiętajmy, że x jest to samo, co x¹. Coś do potęgi 1 jest po prostu tym czymś. Np. 2 do potęgi 1 to po prostu 2. 3 do potęgi 1 to 3. A czemu będzie się równać to? To będzie równe… Mamy jedną podstawę, „x”, możemy dodać wykładniki: „x” do potęgi 1 plus 4 plus 2. Zaraz to dodam. Jeszcze igreki. Razy „y” do potęgi 2 plus 2 plus 2. Co uzyskujemy? Mamy tu 6x do potęgi 7… pomnożone przez „y” do potęgi 6. Na zakończenie coś, co już może znacie. Ciekawe pytanie: co będzie, gdy podniesiemy coś do potęgi 0. Kiedy mówię: „7 do potęgi 0”, czemu to się równa? Choć wydaje się to sprzeczne z intuicją, wynik wynosi 1. Nawet 1 do potęgi zerowej też jest równe 1. Każda liczba niezerowa podniesiona do potęgi 0 daje właśnie 1. Podpowiem wam, dlaczego tak jest. Pomyślcie o tym tak… Pomyślcie tak. 3 do potęgi 1… Zapiszę potęgi… 3 do potęgi 1, 2, 3… poprzestańmy na trójce. Do trzech wystarczy. 3 do potęgi 1 to 3, wiadomo. 3 do kwadratu to 9, 3 do sześcianu to 27. Teraz próbujemy dojść, ile wyniesie potęga 0. Pomyślcie: zawsze, gdy obniżamy wykładnik, gdy zmniejszamy go o 1, dzielimy wynik przez 3. Aby dojść od 27 do 9, dzielimy przez 3. Od 9 do 3 też. Może by uzyskać ten wynik, też trzeba dzielić przez 3? Właśnie dlatego wszystko do potęgi 0, tutaj 3 do potęgi 0, wynosi 1. Obejrzyjcie następny odcinek!