Podsumowanie wiadomości na temat potęg o wykładniku ujemnym

Powtórzenie wiadomości dotyczących potęg o wykładniku ujemnym oraz ich zastosowanie w zadaniach.

Definicja potęgi o ujemnym wykładniku

Ujemną potęgę definiujemy jako liczbę odwrotną do podstawy podniesionej do dodatniej potęgi:
xn=1xnx^{-n}=\dfrac{1}{x^n}
Chcesz dowiedzieć się więcej na temat potęg o wykładniku ujemnym? Obejrzyj ten film.

Przykłady

  • 35=1353^{-5}=\dfrac{1}{3^5}
  • 128=28\dfrac{1}{2^8}=2^{-8}
  • y2=1y2y^{-2}=\dfrac{1}{y^{2}}
  • (86)3=(68)3\left(\dfrac{8}{6}\right)^{-3}=\left(\dfrac{6}{8}\right)^{3}

Ćwiczenie

Zadanie 1
Wybierz wyrażenia równoważne z:
43=?4^{-3}=?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Trochę intuicji

Więc dlaczego definiujemy ujemne wykładniki potęgowe w ten sposób? Oto kilka uzasadnień:

Uzasadnienie #1: Wzory

nn2n2^n
3323=82^3=8
2222=42^2=4
1121=22^1=2
0020=12^0=1
1-121=122^{-1}=\dfrac12
2-222=142^{-2}=\dfrac14
Zauważ, że 2n2^n dzielimy przez 22 za każdym razem kiedy zmniejszamy nn. Ten schemat jest kontynuowany nawet kiedy nn wynosi zero albo jest ujemne.

Uzasadnienie #2: Właściwości wykładników potęgi

Przypomnij sobie, że xnxm=xnm\dfrac{x^n}{x^m}=x^{n-m}. Więc...
2223=223=21\begin{aligned} \dfrac{2^2}{2^3}&=2^{2-3} \\\\ &=2^{-1} \end{aligned}
Wiemy również, że
2223=22222=12\begin{aligned} \dfrac{2^2}{2^3}&=\dfrac{\cancel 2\cdot\cancel 2}{\cancel 2\cdot\cancel 2\cdot 2} \\\\ &=\dfrac12 \end{aligned}
I tak otrzymujemy 21=122 ^{-1} = \dfrac12.
Pamiętamy także, że xnxm=xn+mx^n\cdot x^m=x^{n+m}.
2222=22+(2)=20=1\begin{aligned} 2^2\cdot 2^{-2}&=2^{2+(-2)} \\\\ &=2^0 \\\\ &=1 \end{aligned}
I rzeczywiście, zgodnie z naszą definicją...
2222=22122=2222=1\begin{aligned} 2^2\cdot 2^{-2}&=2^2\cdot\dfrac{1}{2^2} \\\\ &=\dfrac{2^2}{2^2} \\\\ &=1 \end{aligned}