Zamiana ułamków dziesiętnych okresowych na zwykłe (część 2)

W poprzedniej prezentacji przekształcaliśmy w ułamki zwykłe ułamki dziesiętne z jedną powtarzającą się cyfrą. W tej spróbujemy poradzić sobie z ciekawszymi przypadkami kiedy powtarza się sekwencja cyfr. Niech będzie: 0,(36) czyli 0,… Ta kreska oznacza, że powtarza się sekwencja 36 a więc 0,363636… w nieskończoność. W takim przypadku robi się nieco inaczej. Najpierw tak jak poprzednio przypisujemy temu x. Nie mnożymy przez 10, bo przecinek przesunąłby się tylko o jedno miejsce. a musimy przesunąć go tak, aby po ustawieniu liczb nad sobą przecinki nadal znajdowały się jeden nad drugim. A żeby to zrobić, trzeba przesunąć przecinek o 2 miejsca w prawo. W tym celu należy pomnożyć liczbę przez 100, czyli 10². Zatem 100x równa się ile? Przesuwamy przecinek o 2 miejsca: jedno… i drugie. 100x =… Przecinek będzie teraz tu. 100x = 36,363636… 100x = 36,(36) Przepiszę tu x, żeby móc go odjąć. x = 0,363636… x = 0,(36) Zauważcie, że po pomnożeniu przez 100 po przecinku mamy dokładnie to samo. Ustawiłem przecinki nad sobą, żeby było to dobrze widać. Warto było to zrobić, bo gdy teraz odejmiemy x od 100x ogony nam się skrócą. Odejmijmy więc te dwie liczby. Po lewej stronie mamy: 100x – x = 99x Natomiast po prawej, cyfry po przecinku się skracają i zostaje samo 36. Teraz dzielimy obie strony przez 99 i zostaje nam… x = 36/99 I licznik i mianownik dzielą się przez 9 więc ten ułamek da się uprościć. 36 ÷ 9 = 4 99 ÷ 9 = 11 Zatem 0,(36) = 4/11 Zróbmy jeszcze inny przykład. Niech będzie liczba… 0,7(14) 14 powtarza się w nieskończoność. To jest to samo, co… Zauważcie, że tu nie powtarza się wszystko, a tylko 14. To jest to samo, co: 0,7141414… i tak dalej. Przypiszmy temu x. Może was kusić, żeby pomnożyć to przez 1000 aby przesunąć przecinek poza 714… …ale byłaby to zła decyzja. Wystarczy przesunąć przecinek o tyle miejsc aby sekwencje dały się skrócić przy odejmowaniu. Chociaż mamy trzy liczby znaczące po przecinku tylko dwie z nich się powtarzają, więc wystarczy pomnożyć przez 100. Zatem znowu mnożymy przez 100. 100x =… Przesuwamy o 2 miejsca w prawo uzyskując 71,41414… 100x = 71,41414… 100x = 71,4(14) Przepiszę pod spodem x. x = 0,7141414… x = 0,714(14) Zauważcie, że sekwencje 14 pokrywają się więc znikną przy odejmowaniu. Odejmijmy: 100x – x = 99x a tutaj ten ciąg sekwencji 14 skraca się z tym ciągiem 14 i zostaje 71,4 – 0,7. Można to obliczyć w pamięci albo pisemnie. Stąd pożyczamy, więc tu będzie 0… 1,4 – 0,7 = 0,7… 70 – 0 = 70 Zatem 99x = 70,7. Dzielimy obie strony przez 99. Tu wciąż mamy liczbę dziesiętną, ale poradzimy sobie z tym. Podzielmy obie strony przez 99. x = 70,7/99 Teraz musimy przekształcić to w ułamek zwykły. To nietrudne. Wystarczy pomnożyć licznik i mianownik przez 10 i ułamek dziesiętny zniknie. Pomnóżmy licznik przez 10 i mianownik przez 10. Otrzymamy 707/990. Zróbmy jeszcze jeden przykład. Może taki… 3,(257) Przekształćmy go w ułamek zwykły. Znów przypisujemy x. x = 3,257257257… x = 3,(257) Mamy 3 powtarzające się cyfry więc musimy pomnożyć przez 1000, czyli 10³. Wtedy przecinek przesunie się o 3 miejsca i ogony się skrócą. A więc 1000x równa się ile? Przesuwamy o trzy miejsca… i mamy: 3257,257257257… czyli 3257,(257) Teraz odejmijmy od tego x. x = 3,257257257… Cyfry muszą być pod sobą. x = 3,257257257… x = 3,(257) Pomnożenie przez 1000 dało nam identyczne cyfry po przecinku więc teraz przy odejmowaniu te cyfry się skrócą. Zróbmy to. Po lewej stronie mamy: 1000x – x = 999x Po prawej ogony się skracają. To się równa… (7 – 3 = 4) 3254 999x = 3254 Teraz dzielimy obie strony przez 999. Otrzymujemy: x = 3254/999 To oczywiście ułamek niewłaściwy, bo licznik jest większy niż mianownik. Można go przekształcić w liczbę mieszaną ustalając, jaki ułamek wyjdzie z tej powtarzającej się sekwencji cyfr i biorąc 3 jako liczbę całości. Można też podzielić 3254 przez 999. To łatwe. Liczba całości to 3, pozostaje wyliczyć resztę z dzielenia. Zrobię to dla zasady. 999 w 3254 mieści się 3 razy. Wiemy to, bo x = 3,257. Obliczmy resztę. 3 * 9 = 27… 3 * 9 = 27… plus 2 to 29… 3 * 9 = 27… znów plus 2 to 29… Pozostaje odjąć. Tu musimy pożyczyć z sąsiedniej cyfry. Wtedy tu będzie 14, a tu będzie 4. Wezmę nowy kolor. Tu będzie 4 ale 4 to mniej niż 9, więc znów musimy pożyczyć. Wtedy tu będzie 14, a tu 1. Cyfra jest mniejsza, zatem znów pożyczamy. Tu mamy 11, a tu 2. 14 – 7 = 7… 14 – 9 = 5… 11 – 9 = 2. Ile zatem wyszło? x = 3 i 257/999 Zadanie zrobione.