If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Graficzna interpretacja układów równań

Przykłady dotyczące rozwiązywania układów równań poprzez wyznaczenie punktu przecięcia.
Jednym ze sposobów rozwiązania układów równań jest wykorzystanie z wykresu tych równań. Wypróbujmy tę metodę na przykładzie następującego układu równań:
y=12x+3
y=x+1
Narysujmy prostą odpowiadającą pierwszemu równaniu, y=12x+3. Równanie jest zapisane w postaci kierunkowej, więc możemy od razu wyznaczyć współrzędną punktu przecięcia z osią Y, która wynosi 3, a następnie przesunąć się o 2 jednostki w prawo i 1 jednostkę do góry.
Dodajmy teraz do tego rysunku wykres drugiego równania y=x+1.
Proste, będące wykresami tych równań przecinają się w dokładnie jednym punkcie. Punkt ten jest rozwiązaniem układu równań, który badamy.
Ma to sens, ponieważ wszystkie punkty należące do żółtej linii spełniają równanie y=12x+3, a każdy punkt należący do zielonej linii spełnia równanie y=x+1. Stąd wynika, że punkt który jest rozwiązaniem obu rozwiązań jednocześnie musi być punktem, w którym te proste się przecinają

Sprawdzenie poprawności rozwiązania

Z wykresu wynika, że rozwiązaniem tego układu równań jest para uporządkowana (4,5). Sprawdźmy, co się stanie, gdy podstawimy x=4 i y=5 do układu równań.
Pierwsze równanie:
y=12x+35=?12(4)+3Podstawmy x = 4 i y = 55=5Tak!
Drugie równanie
y=x+15=?4+1Podstawmy x = 4 i y = 55=5Tak!
No proszę! (4,5) rzeczywiście jest rozwiązaniem tego układu równań.

Poćwiczmy!

Zadanie 1

Na poniższym rysunku przedstawiono następujący układ równań:
y=3x7
y=x+9
Znajdź rozwiązania tego układu równań.
x=
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi
y=
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi

Zadanie 2

Dany jest układ równań:
y=5x+2
y=x+8
Narysuj wykres obu równań.
Znajdź rozwiązania tego układu równań.
x=
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi
y=
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi

Zadanie 3

Dany jest układ równań:
8x4y=16
8x+4y=16
Narysuj wykres obu równań.
Znajdź rozwiązania tego układu równań.
x=
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi
y=
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi

Sprawdź się!

1) Ile rozwiązań ma układ równań naszkicowany na poniższym rysunku?
Wybierz 1 odpowiedź:

2) Ile rozwiązań ma układ równań naszkicowany na poniższym rysunku?
(Te dwie proste są równoległe, a więc nigdy się nie przecinają)
Wybierz 1 odpowiedź:

3) Ile rozwiązań ma układ równań naszkicowany na poniższym rysunku?
(Obie proste są identyczne. Są identyczne, a więc nieskończenie wiele punktów należy jednocześnie do obu prostych.)
Wybierz 1 odpowiedź:

4) Czy układ równań liniowych może mieć dokładnie dwa rozwiązania?
Wskazówka: pomyśl o wykresach, ilustrujących poprzednie zadania.
Wybierz 1 odpowiedź:

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.