If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

8. klasa

Kurs: 8. klasa > Rozdział 4

Lekcja 2: Graficzna interpretacja układów równań
Matematyka
8. klasa
Układy równań
Graficzna interpretacja układów równań
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie

Graficzna interpretacja układów równań

Google Classroom
Przykłady dotyczące rozwiązywania układów równań poprzez wyznaczenie punktu przecięcia.
Jednym ze sposobów rozwiązania układów równań jest wykorzystanie z wykresu tych równań. Wypróbujmy tę metodę na przykładzie następującego układu równań:
start color #e07d10, y, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, x, plus, 3, end color #e07d10
start color #0d923f, y, equals, x, plus, 1, end color #0d923f
Narysujmy prostą odpowiadającą pierwszemu równaniu, start color #e07d10, y, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, x, plus, 3, end color #e07d10. Równanie jest zapisane w postaci kierunkowej, więc możemy od razu wyznaczyć współrzędną punktu przecięcia z osią Y, która wynosi 3, a następnie przesunąć się o 2 jednostki w prawo i 1 jednostkę do góry.
Dodajmy teraz do tego rysunku wykres drugiego równania start color #0d923f, y, equals, x, plus, 1, end color #0d923f.
Proste, będące wykresami tych równań przecinają się w dokładnie jednym punkcie. Punkt ten jest rozwiązaniem układu równań, który badamy.
Ma to sens, ponieważ wszystkie punkty należące do żółtej linii spełniają równanie start color #e07d10, y, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, x, plus, 3, end color #e07d10, a każdy punkt należący do zielonej linii spełnia równanie start color #0d923f, y, equals, x, plus, 1, end color #0d923f. Stąd wynika, że punkt który jest rozwiązaniem obu rozwiązań jednocześnie musi być punktem, w którym te proste się przecinają

Sprawdzenie poprawności rozwiązania

Z wykresu wynika, że rozwiązaniem tego układu równań jest para uporządkowana left parenthesis, 4, comma, 5, right parenthesis. Sprawdźmy, co się stanie, gdy podstawimy x, equals, 4 i y, equals, 5 do układu równań.
Pierwsze równanie:
y=12x+35=?12(4)+3Podstawmy x = 4 i y = 55=5Tak!\begin{aligned} \goldD{y} &\greenE= \goldD{\dfrac12x + 3} \\\\ 5&\stackrel?= \dfrac12(4) + 3 &\gray{\text{Podstawmy x = 4 i y = 5}}\\\\ 5 &= 5 &\gray{\text{Tak!}}\end{aligned}
Drugie równanie
y=x+15=?4+1Podstawmy x = 4 i y = 55=5Tak!\begin{aligned} \greenE{y} &\greenE= \greenE{x+1} \\\\ 5&\stackrel?= 4 + 1 &\gray{\text{Podstawmy x = 4 i y = 5}}\\\\ 5 &= 5 &\gray{\text{Tak!}}\end{aligned}
No proszę! left parenthesis, 4, comma, 5, right parenthesis rzeczywiście jest rozwiązaniem tego układu równań.

Poćwiczmy!

Zadanie 1

Na poniższym rysunku przedstawiono następujący układ równań:
y, equals, minus, 3, x, minus, 7
y, equals, x, plus, 9
Znajdź rozwiązania tego układu równań.
x, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Zadanie 2

Dany jest układ równań:
y, equals, 5, x, plus, 2
y, equals, minus, x, plus, 8
Narysuj wykres obu równań.
Znajdź rozwiązania tego układu równań.
x, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Zadanie 3

Dany jest układ równań:
8, x, minus, 4, y, equals, 16
8, x, plus, 4, y, equals, 16
Narysuj wykres obu równań.
Znajdź rozwiązania tego układu równań.
x, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Sprawdź się!

1) Ile rozwiązań ma układ równań naszkicowany na poniższym rysunku?
Wybierz 1 odpowiedź:

2) Ile rozwiązań ma układ równań naszkicowany na poniższym rysunku?
(Te dwie proste są równoległe, a więc nigdy się nie przecinają)
Wybierz 1 odpowiedź:

3) Ile rozwiązań ma układ równań naszkicowany na poniższym rysunku?
(Obie proste są identyczne. Są identyczne, a więc nieskończenie wiele punktów należy jednocześnie do obu prostych.)
Wybierz 1 odpowiedź:

4) Czy układ równań liniowych może mieć dokładnie dwa rozwiązania?
Wskazówka: pomyśl o wykresach, ilustrujących poprzednie zadania.
Wybierz 1 odpowiedź:

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się
Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.