Wprowadzenie do czworokątów

W tej prezentacji chciałbym omówić czworokąty. Jak nazwa wskazuje, a zwłaszcza jej początek „czworo” są to figury mające 4 sztuki czegoś. Czworokąty to figury płaskie (zwane także czworobokami) posiadające 4 boki, 4 kąty oraz 4 wierzchołki. Na przykład: raz… dwa… trzy… cztery. Oto czworokąt. Ostatnia linia też jest prosta. Raz… dwa… trzy… cztery. To też czworokąt. Raz, dwa, trzy, cztery. To wszystko czworokąty. Wszystkie mają 4 boki, 4 wierzchołki i 4 kąty. Jeden… drugi… trzeci… i czwarty. Powiększę trochę ten środkowy, bo jest ciekawy. Mamy jeden kąt… drugi… trzeci… i czwarty bardzo szeroki. Zaznaczyłem wewnętrzne kąty tej figury. Jak się pewnie domyślacie czworokąty są sklasyfikowane w wielu podgrupach zależnie od ich właściwości. Podstawowy podział wyróżnia czworokąty wklęsłe i czworokąty wypukłe. Wklęsłe i wypukłe. Czworokąt wklęsły a właściwie dowolny wielokąt wklęsły wygląda tak, jakby ktoś go wgniótł. Na przykład to jest czworokąt wklęsły. Z jednej strony jest jakby wgnieciony. Definicja czworokąta wklęsłego… Narysuję większy przykład. To jest czworokąt wklęsły. …mówi, że posiada on kąt wewnętrzny większy niż 180 stopni. W tej figurze jest to ten kąt. Ma więcej niż 180 stopni. Można dość łatwo udowodnić, być może to zrobię że jeśli w czworokącie jeden kąt jest większy niż 180 stopni to nie może on mieć równoległych boków. Drugi typ czworokątów to taki w którym wszystkie kąty są mniejsze niż 180 stopni. A co, gdyby kąt był RÓWNY 180 stopni? Wtedy nie byłyby to dwa boki, tylko jeden, i mielibyśmy trójkąt. Gdy wszystkie kąty są mniejsze niż 180 stopni mamy do czynienia z czworokątem wypukłym. Przykładami czworokąta wypukłego są te dwie figury. To jest czworokąt wypukły. Tak może wyglądać. 4 wierzchołki, 4 boki i 4 kąty. Czworokąty wypukłe dzielą się na dalsze podtypy. Skupimy się odtąd wyłącznie na czworokątach wypukłych. Zajmą całą tę przestrzeń. Jednym z podtypów czworokąta wypukłego jest trapezoid. Trapezoid jest ciekawy, bo w różnych krajach różnie się go definiuje. Niektórzy uważają, że trapezoid musi mieć dwa boki równoległe. ( W Polsce taka figura to trapez.) Na przykład dla nich to jest trapezoid... (Dla nas trapez, a trapezoid to po prostu czworokąt wypukły.) ...bo ten bok jest równoległy do tego. Opiszę wierzchołki. A… B… C… D. Teraz można powiedzieć, że odcinek AB jest równoległy do odcinka DC. Ta cecha definiuje trapez. Jednak dalej definicja się rozmywa bo według niektórych trapez ma DOKŁADNIE dwa boki równoległe a w według innych – CO NAJMNIEJ dwa. Zastosujmy się do tej pierwszej definicji, bardziej rozpowszechnionej według której trapez ma dokładnie dwa boki równoległe. Bo jeśli przyjmiemy szerszą definicję co najmniej dwa równoległe boki to także TA figura jest trapezem. Te boki są równoległe… i te także. Co do tego mogą być wątpliwości ale ta figura z pewnością jest trapezem. Ma jedną parę równoległych boków. Zależnie od definicji, to może być trapez, albo nie. Jeśli uznamy, że mogą być tylko dwa równoległe boki to NIE jest trapez. Jeśli przyjmiemy szerszą definicję, to JEST trapez. Dlatego postawiłem znak zapytania. Ale ta figura ma inną nazwę niezależną od definicji trapezu. Czworokąt z dwiema parami równoległych boków to równoległobok. To jest przykład równoległoboku. Równoległobok. (Khan męczy się przy wymawianiu tego słowa) Narysuję większy. To czworokąt… posiadający dwie pary równoległych boków. Przeciwległe boki są równoległe. Ten jest równoległy do tego a ten jest równoległy do tego. Równoległoboki też mają podgrupę. Jeśli wszystkie kąty równoległoboku są kątami prostymi to mamy do czynienia z prostokątem. Narysuję jeden. Cztery boki. Niech to będzie królestwo równoległoboków. Wszystkie figury wewnątrz to równoległoboki. To równoległobok, więc przeciwległe boki są równoległe a dodatkowo ma wszystkie kąty proste. W jednej z poprzednich prezentacji udowadniałem że suma kątów wewnętrznych jest we wszystkich czworokątach taka sama i wynosi 360 stopni. W tym szczególnym przypadku także, udowodnię to kiedy indziej. Ten szczególny przypadek nazywamy prostokątem. To równoległobok z czterema kątami prostymi. Może być też równoległobok, który nie ma kątów prostych ale ma za to wszystkie boki tej samej długości. Taką figurę nazywamy rombem. Narysuję romb. To równoległobok… więc ten bok jest równoległy do tego a ten do tego. Jeśli oprócz tego boki mają tę samą długość... Ten jest równy temu… temu… i temu… …to mamy do czynienia z rombem. Wszystkie romby, równoległoboki i prostokąty są równoległobokami. Ale nie każdy równoległobok jest prostokątem i nie każdy jest rombem. Istnieje jednak figura, która jest i prostokątem, i rombem. Wyróżnijmy zbiór prostokątów. Niech to będzie taki obszar. Oraz zbiór rombów który ma taki obszar. Jaka figura będzie w części wspólnej? Musi mieć 4 kąty proste i boki równej długości. Wygląda tak. To równoległobok… z kątami prostymi… i bokami o jednakowej długości. To jedna z figur, które poznaje się najwcześniej. Kwadrat. Wszystkie kwadraty są rombami i wszystkie są prostokątami… i oczywiście są też równoległobokami. Ale nie każdy prostokąt to kwadrat i nie każdy romb to kwadrat. I na pewno nie każdy równoległobok to kwadrat. Ten nie jest ani prostokątem, ani rombem, ani kwadratem. Wprowadziłem was w tajniki klasyfikacji czworokątów. W następnych prezentacjach będę je po kolei przedstawiał i omawiał ich właściwości.