FAQ: ułamki zwykłe, dziesiętne i procenty

Rozwinięcie dziesiętne skończone urywa się w pewnym momencie i taki ułamek można zapisać jako ułamek zwykły, którego mianownikiem jest potęga liczby $10$10. Na przykład, ułamek dziesiętny $0{,}33$0, comma, 33, którego rozwinięcie dziesiętne urywa się na drugim miejscu po przecinku, możemy przedstawić jako ułamek zwykły $\dfrac{33}{100}$start fraction, 33, divided by, 100, end fraction. Rozwinięcie dziesiętne okresowe jest nieskończenie długie. Jako przykład może służyć ułamek $\dfrac{1}{3}$start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, którego rozwinięcie dziesiętne równa się $0{,}3333\dots$0, comma, 3333, dots. W tym przypadku cyfra $3$3 powtarza się nieskończoną liczbę razy, czyli jest „w okresie”. Aby uprościć notację, cyfry w okresie zapisujemy w nawiasie, w tym wypadku jako $\dfrac{1}{3} = 0{,}(3)$start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, equals, 0, comma, left parenthesis, 3, right parenthesis.

Załóżmy, że sprowadziliśmy ułamek do postaci uproszczonej, to znaczy w liczniku i mianowniku nie ma już wspólnych czynników, które można skrócić. Jeśli w mianowniku pozostały czynniki pierwsze inne niż $2$2 i $5$5, to ten ułamek ma rozwinięcie dziesiętne okresowe. Powtarzająca się część może mieć więcej niż jedną cyfrę. Na przykład, rozwinięcie dziesiętne ułamka $\dfrac{8}{11}$start fraction, 8, divided by, 11, end fraction ma postać $0{,}727272\dots$0, comma, 727272, dots, czyli $0{,}(72)$0, comma, left parenthesis, 72, right parenthesis.

Ułamki dziesiętne porównujemy w następujący sposób: zaczynamy od najwyższego miejsca dziesiętnego i porównujemy kolejne cyfry, przesuwając się z lewa na prawo tak długo, aż nie znajdziemy rzędu, w którym cyfry się różnią.

Porównajmy na przykład $0{,}67$0, comma, 67 i $0{,}(6)$0, comma, left parenthesis, 6, right parenthesis. W obu ułamkach na pozycji jedności znajduje się $0$0, a na pozycji dziesiątych $6$6. Na pozycji setnych w ułamku $0{,}67$0, comma, 67 znajduje się $7$7, a w ułamku $0{,}(6)$0, comma, left parenthesis, 6, right parenthesis stoi $6$6. A zatem $0{,}67>0{,}(6)$0, comma, 67, is greater than, 0, comma, left parenthesis, 6, right parenthesis.

Sprawdź, czy rozumiesz: Zamiana ułamków zwykłych na ułamki dziesiętne.

Aby obliczyć procentowy wzrost lub spadek czegoś, musimy znać dwie liczby: wartość początkową i wartość po zmianie. Następnie dzielimy różnicę pomiędzy wartością po zmianie i wartością początkową przez wartość początkową. Wynik zapisujemy w postaci ułamka dziesiętnego, który następnie zamieniamy na procenty.

Na przykład, jeśli wartość początkowa równa się $20$20 i wielkość ta następnie wzrosła do $30$30, to otrzymamy:

Zmiana jest dodatnia i wyrażona w procentach oznacza wzrost o $50\%$50, percent.

Z drugiej strony, jeśli wartość początkowa równa się $20$20 i wielkość ta następnie zmalała do $15$15, to:

Zmiana jest ujemna i wyrażona w procentach oznacza spadek o $25\%$25, percent.

Sprawdź, czy rozumiesz: Zadania o procentach.

Zapisując wyrażenia z procentami w różnych postaciach, wybieramy formę, która sprawia, że najłatwiej jest zrozumieć kontekst lub wykonać obliczenia.

Powiedzmy, że chcemy obliczyć cenę jakiegoś towaru po obniżce, równej $8\%$8, percent. Jeśli ten towar przed obniżką kosztował $m$m złotych, to jego cenę po obniżce możemy zapisać jako:

Zapisując tak cenę po obniżce podkreślamy, że od ceny zasadniczej odejmujemy procentową wartość rabatu. Natomiast jeśli chcielibyśmy po prostu szybko obliczyć cenę z rabatem, to obliczenia możemy zapisać tak:

Mamy tu tylko jedno działanie do wykonania, ale stojąca za nim logika jest mniej oczywista.

W innych okolicznościach możemy skorzystać z innej formy, aby ułatwić sobie obliczenia. Na przykład, załóżmy że w pewnej miejscowości w ubiegłym roku spadło $60\,\text{cm}$60, start text, c, m, end text deszczu,a w tym roku opady wyniosły $120\%$120, percent tej wartości. Możemy zapisać jako $60\cdot 1{,}20\,\text{cm}$60, dot, 1, comma, 20, start text, c, m, end text, ale komuś może być łatwiej wykonać obliczenia w formie $60\cdot \dfrac{6}{5}\,\text{cm}$60, dot, start fraction, 6, divided by, 5, end fraction, start text, c, m, end text. Ponieważ oba sposoby są prawidłowe, możesz wybrać ten, który jest według Ciebie łatwiejszy do obliczeń!

Sprawdź, czy rozumiesz: Równoważne przedstawienia liczba w postaci procentów lub ułamków dziesiętnych.