FAQ: mnożenie i dzielenie liczb ujemnych

Gdy mnożymy lub dzielimy dwie liczby ujemne, wynik jest liczbą dodatnią. Najpierw może to wydawać się dziwne, ale należy pamiętać, że znak minus w matematyce to naprawdę tylko instrukcja zmiany kierunku liczby na osi liczbowej. Więc mnożąc lub dzieląc dwie liczby ujemne, dwukrotnie zmieniamy kierunek, co prowadzi nas z powrotem do liczby dodatniej.

Na przykład, mnożenie $3\cdot 4$‍ możemy przedstawić na osi liczbowej jako $3$‍ skoki, każdy po $4$‍ jednostki w prawo, ponieważ $4$‍ jest liczbą dodatnią. Zaczynamy od $0$‍ i skaczemy: $4$‍, $8$‍, $12$‍. A zatem $3\cdot 4=12$‍.

Mnożenie $3\cdot (-4)$‍ możemy przedstawić na osi liczbowej jako $3$‍ skoki, każdy po $4$‍ jednostki w lewo, ponieważ $-4$‍ jest liczbą ujemną. Zaczynamy od $0$‍ i skaczemy: $-4$‍, $-8$‍, $-12$‍. A zatem $3\cdot (-4)=-12$‍.

Mnożenie przez liczbę ujemną oznacza, że tym razem wykonujemy skoki w kierunku przeciwnym do tego, w którym skakalibyśmy, mnożąc przez liczbę dodatnią. A zatem, mnożenie $(-3)\cdot (-4)$‍ wymaga wykonania $3$‍ skoków w kierunku przeciwnym w porównaniu do mnożenia przez $3$‍. Każdy skok powinien mieć długość $4$‍ jednostek. Mnożąc $3$‍ przez $-4$‍ skakalibyśmy w lewo, ale teraz, mnożąc $-3$‍ przez $-4$‍ musimy skakać w kierunku przeciwnym, czyli w prawo: $0$‍, $4$‍, $8$‍, $12$‍. A zatem $(-3)\cdot (-4)=12$‍.

Sprawdź, czy rozumiesz: Mnożenie liczb ujemnych.

Te same zasady mają zastosowanie do ułamków. Znak minus przed ułamkiem oznacza, że wartość tego ułamka jest przeciwna wartości ułamka bez znaku minus. Możemy jednak mieć również znak minus w liczniku (liczba nad kreską ułamkową) lub mianowniku (liczba pod kreską ułamkową). Czy zatem ułamek jest ujemny lub dodatni, jeżeli w jego zapisie mamy więcej niż jeden znak minus?

Każdy znak minus przed ułamkiem lub w liczniku oznacza mnożenie ułamka przez $-1$‍. Na przykład, ułamek $-{\displaystyle \frac{(-3)}{8}}$‍ jest równy ułamkowi ${\displaystyle \frac{3}{8}}$‍, ponieważ pomnożenie dwa razy przez $-1$‍ oznacza pomnożenie przez $1$‍.

Znak minus w mianowniku oznacza to samo, co dzielenie ułamka przez $-1$‍. Na przykład, ułamek ${\displaystyle \frac{9}{(-7)}}$‍ równy jest ułamkowi ${\displaystyle \frac{9}{7}}$‍ podzielonemu przez $-1$‍.

Sprawdź, czy rozumiesz: Jak sobie poradzić, gdy w liczniku lub mianowniku ułamka jest znak minus.

Kolejność działań w przypadku liczb ujemnych opisują znane Ci reguły. Warto jednak uświadomić sobie w pełni ich logikę.

Znak minus oznacza po prostu mnożenie tego wyrażenia przez $-1$‍. Uwzględnienie znaku minus odbywa się więc na tym samym etapie, co mnożenie i dzielenie. Na przykład, w wyrażeniu $-3^2$‍ najpierw wykonujemy potęgowanie, a następnie mnożymy przez $-1$‍.

W wyrażeniu $(-3{)}^2$‍ znak minus znajduje się natomiast wewnątrz nawiasu. Zatem najpierw aplikujemy znak minus, a następnie podnosimy do potęgi.

Wiesz już, co to jest wartość bezwzględna. Jeśli chodzi o kolejność działań, symbol wartości bezwzględnej ma taki sam status, jak nawias. Działania wewnątrz symboli wartości bezwzględnej wykonujemy na tym samym etapie, co działania wewnątrz nawiasów.

Wartość bezwzględną stosujemy równorzędnie z potęgami i pierwiastkami. Pamiętaj, że $\sqrt{x^2}=|x|$‍.

Spróbujmy zebrać to wszystko razem. Jaka jest wartość wyrażenia $3-7\cdot |5-8|-4^3$‍?

Sprawdź, czy rozumiesz: Kolejność działań na liczbach ujemnych.