If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Dlaczego liczba ujemna pomnożona przez inną liczbę ujemną daje liczbę dodatnią

Użycie rozdzielności do zrozumienia iloczynów liczb ujemnych. Stworzone przez: Sal Khan.

Transkrypcja filmu video

Wyobraźcie sobie, że jesteście starożytnym filozofem który tworzy podstawy matematyki. Wiecie już, co oznacza lub co powinna oznaczać liczba ujemna i umiecie je dodawać i odejmować. Macie jednak pewną zagwozdkę. Jak mnożyć liczby ujemne? Co robić, gdy mnożycie liczbę ujemną przez dodatnią albo mnożycie przez siebie dwie liczby ujemne. Na przykład co zrobić z takim mnożeniem: Wybiorę jedną liczbę dodatnią i jedną ujemną. Co zrobić z mnożeniem 5 × -3? Nie umiecie jeszcze tego robić. Nie wiecie też, jaki wynik daje mnożenie dwu liczb ujemnych. Na przykład -2 × -6. Też tego nie umiecie. Będąc matematykiem wiecie jednak że niezależnie od tego, co z tym zrobicie rozwiązanie musi być spójne z całą dotychczasową wiedzą matematyczną. Zwłaszcza z innymi zasadami mnożenia. Wtedy uwierzycie, że rozwiązanie jest dobre. Postarajmy się zatem dojść do wyniku i udowodnić, że jest prawidłowy. Aby rozwiązanie było spójne z wiedzą matematyczną zrobimy eksperyment myślowy. Jaki wynik dałoby 5 razy… 3 dodać -3? Wymyśliliśmy już, jak należy dodawać liczby ujemne i dodatnie i wiemy, że -3 jest przeciwieństwem 3. Wiemy, że -3 + 3 = 0. To będzie więc równe… 5 razy 0. Wywnioskowaliśmy to z tego, co już wiemy o dodawaniu liczb ujemnych. Każda liczba pomnożona przez 0 daje wynik 0 dlatego to wyrażenie jest równe 0. Teraz myślimy sobie: mnożenie liczb ujemnych musi być przecież zgodne z zasadą rozdzielności. Rozdzielmy tę piątkę. Rozdzielmy ją. Jeśli matematyka jest spójna, a musi taka być to nie powinno to wpłynąć na wynik. Rozdzielmy tę piątkę. Otrzymamy 5 × 3… 5 × 3… Napiszmy to. 5 × 3… Użyję krzyżyka jako znaku mnożenia, zamiast kropki. 5 × 3… To pierwszy element… plus… plus 5 × -3. Kolorem żółtym. 5 × -3 Całe to wyrażenie musi być równe 0. Musi być równe 0. 5 × 3 to dwie liczby dodatnie, umiemy je mnożyć. To się równa 15. Teraz mamy więc 15… plus… nieznany wynik działania 5 × -3… i to się musi równać 0, aby nie naruszało zasad matematyki. Ile trzeba dodać do 15, aby otrzymać 0? Przeciwieństwo 15. Aby to wszystko było spójne z całą naszą wiedzą matematyczną to wyrażenie musi być równe -15. Doszliśmy do wniosku, że jeśli ściśle trzymamy się wiedzy matematycznej to 5 × -3 musi być równe -15. To samo podpowiada nam intuicja bo 5 × -3 to odejmowanie liczby 3 pięć razy. Nieco trudniejszym zagadnieniem jest mnożenie dwu liczb ujemnych. Przeprowadźmy ten sam eksperyment. Wynik tego działania musi być spójny z całą wiedzą matematyczną. Przeprowadźmy ten sam eksperyment myślowy. Ile będzie równe -2 razy… 6 dodać -6? 6 + -6 równa się 0 a -2 × 0, jak wszystko razy 0, musi być równe 0. Rozdzielmy to, jak poprzednio. Mamy więc -2 razy 6… plus… -2 razy -6. I to wszystko musi być równe 0. Tak jak w poprzednim eksperymencie mówimy: to musi być równe -12. Można to rozumieć jako dwukrotne przesunięcie się na osi liczbowej o 6 w lewo albo jako sześciokrotne odjęcie liczby 2, co łącznie daje wynik -12. Tutaj, gdy mnożyliśmy liczbę dodatnią przez ujemną też otrzymaliśmy liczbę ujemną. Wiemy już, że to wyrażenie jest równe -12 zatem -12 dodać… nieznana wartość tego mnożenia… musi równać się 0. Musi się równać 0, aby pozostać w zgodzie z wiedzą matematyczną. Co zatem trzeba dodać do -12, aby otrzymać 0? Oczywiście trzeba dodać plus 12, aby wyszło 0. To wyrażenie musi być równe 12 aby pozostać w zgodzie z wiedzą matematyczną. Stąd wiemy, że -2 razy -6 musi się równać plus 12. Na tym skończymy, ale postaram się zrobić kolejne prezentacje aby przekonać was, że tak musi być.