Główna zawartość

7. klasa

Course: 7. klasa > Jednostka 5

Lekcja 1: Łączenie wyrazów podobnych

FAQ: wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności

Często zadawane pytania na temat wyrażeń algebraicznych, równań i nierówności

Na czym polega upraszczanie wyrazów podobnych?

Przemienność dodawania mówi, że możemy dowolnie zamienić kolejność składników sumy bez zmiany wartości całego wyrażenia. Dzięki temu możemy poradzić sobie z uproszczeniem wyrazów podobnych w sytuacji, gdy wyrażenie algebraiczne zawiera także inne wyrazy.

Przyjrzyjmy się bliżej temu wyrażeniu:

3, x, plus, 2, y, minus, 5, x, minus, 6, y

Zacznijmy od zapisania odejmowania jako dodawania wyrażenia ze znakiem minus. Po przekształceniu 3, x, plus, 2, y, minus, 5, x, minus, 6, y do postaci 3, x, plus, 2, y, plus, left parenthesis, minus, 5, x, right parenthesis, plus, left parenthesis, minus, 6, y, right parenthesis korzystamy z przemienności dodawania w taki sposób, żeby wyrazy podobne znalazły się obok siebie:

3, x, minus, 5, x, plus, 2, y, minus, 6, y

Możemy teraz uprościć dwa wyrazy, w których występuje x i dwa wyrazy, w których występuje y:

minus, 2, x, minus, 4, y

W ten sposób uprościliśmy w tym wyrażeniu wyrazy podobne!

Sprawdź, czy rozumiesz: Upraszczanie wyrazów podobnych — ujemne współczynniki.

Jak wykorzystać rozdzielność mnożenia względem dodawania, jeśli mamy do czynienia ze zmiennymi?

Najkrótsza odpowiedź brzmi: tak samo. Rozdzielność mnożenia działa zawsze tak samo, niezależnie od tego, czy mamy do czynienia z liczbami dodatnimi, ujemnymi czy z wyrażeniami, w których występują zmienne. Dzięki rozdzielności mnożenia możemy pomnożyć stojący przed nawiasem czynnik przez każdy ze składników sumy w nawiasie i wyniki dodać.

Rozważmy dla przykładu wyrażenie 2, minus, 3, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis. Nie wiemy, ile wynosi x, więc nie możemy obliczyć wartości wyrażenia x, plus, 4 w nawiasie, a zgodnie z kolejnością działań powinniśmy od tego zacząć. Rozdzielność mnożenia względem dodawania pozwala nam za to pomnożyć minus, 3 przez każdy ze składników sumy:

\begin{aligned} 2-3(x+4) &= 2+(-3)(x+4)\\\\ &= 2+(-3)(x)+(-3)(4)\\\\ &=2-3x-12 \end{aligned}

Zauważ, że wykonaliśmy mnożenie przez minus, 3, a nie tylko przez 3. Możemy teraz uprościć wyrazy podobne:

2, minus, 3, x, minus, 12, equals, minus, 3, x, minus, 10

Rozdzielność mnożenia względem dodawania pozwoliła nam na uproszczenie wyrażenia, w którym zmienna występowała w nawiasie.

Sprawdź, czy rozumiesz: Rozdzielność mnożenia względem dodawania w wyrażeniach zawierających liczby ujemne i zmienne.

Jak interpretować wyrażenie, opisujące liniową zależność?

Wyrażenie opisujące liniową zależność składa się z trzech części: zmiennej, współczynnika i wyrazu stałego. Kiedy używamy tego wyrażenia do opisu sytuacji na świecie rzeczywistym, każda część wyrażenia ma inne znaczenie.

Zmienna jest częścią wyrażenia, która może ulec zmianie. Na przykład w wyrażeniu 19, minus, 2, x, zmienną jest x. W realnej sytuacji możemy na przykład użyć tego wyrażenia, aby przedstawić długość, w centymetrach, jaką będzie miał ołówek po temperowaniu go przez x minut, jeśli ołówek miał z początku 19 centymetrów długości, a temperówka skraca ołówek o 2 centymetry na minutę.

Współczynnik jest liczbą znajdującą się przed zmienną. W wyrażeniu 19, minus, 2, x współczynnik równa się minus, 2. W tym przykładzie dotyczącym ołówka mówi nam, że każda minuta temperowania sprawia, że ołówek jest krótszy o 2 centymetry.

Wyraz stały jest liczbą, która nie ulega zmianie, bez względu na zmienną. W wyrażeniu 19, minus, 2, x wyrz stały równa się 19. W przykładzie dotyczącym zaostrzenia ołówków wyraz stały opisuje początkową długość ołówka, równą 19 centymetrów.

Kiedy używamy wyrażenia opisującego zależność liniową do opisu pewnego realnego procesu, takiego jak temperowanie ołówka, powinniśmy zwrócić uwagę na różne elementy tego wyrażenia i zrozumieć, co w danej sytuacji oznaczają.

Sprawdź, czy rozumiesz: Interpretowanie wyrażeń liniowych.

Na czym polega rozwiązywanie równań w dwóch krokach?

Równanie, do którego rozwiązania trzeba wykonać dwa kroki, zmienna znajduje się po jednej stronie równania, ale do jej wyznaczenia musimy wykonać 2 działania. Mówiąc ogólnie, strategia rozwiązania polega na działaniu wstecz, odwracaniu, „odplątywaniu” działań, które doprowadziły do uwikłania zmiennej w równaniu, które mamy rozwiązać. W tym przypadku działamy w kolejności odwrotnej do normalnej kolejności działań.

Na przykład, aby rozwiązać równanie 8, equals, 0, comma, 75, b, minus, 1, to znaczy obliczyć wartość zmiennej b, która spełnia to równanie, zaczniemy od zastanowienia się nad kolejnością działań, którą powinniśmy wykonać, aby obliczyć wartość wyrażenia 0, comma, 75, b, minus, 1.

Mnożymy 0, comma, 75 przez wartość b.
Od wyniku odejmujemy 1.

Aby rozwiązać to równanie, odwracamy ten proces.

Dodajemy 1 do obu stron równania.
Dzielimy obie strony przez 0, comma, 75.

Wypróbujmy, jak to działa:

\begin{aligned} 8&=0{,}75b-1\\\\ 8+1&=0{,}75b-1+1\\\\ 9&=0{,}75b\\\\ \dfrac{9}{0{,}75}&=\dfrac{0{,}75b}{0{,}75}\\\\ 12&=b \end{aligned}

Jak należałoby postąpić, gdyby to równanie zawierało nawiasy? Załóżmy, że mamy rozwiązać równanie start fraction, 5, divided by, 7, end fraction, left parenthesis, w, plus, 11, right parenthesis, equals, 5. Aby obliczyć wartość wyrażenia start fraction, 5, divided by, 7, end fraction, left parenthesis, w, plus, 11, right parenthesis powinniśmy wykonać następujące kroki:

Dodajemy w i 11, ponieważ te wyrazy są wewnątrz nawiasu.
Wynik mnożymy przez start fraction, 5, divided by, 7, end fraction.

Aby rozwiązać to równanie, odwracamy ten proces.

Dzielimy obie strony równania przez start fraction, 5, divided by, 7, end fraction, czyli mnożymy przez start fraction, 7, divided by, 5, end fraction).
Odejmujemy 11.

Wypróbujmy, jak to działa:

\begin{aligned} \dfrac{5}{7}(w+11)&=5\\\\ \dfrac{7}{5}\cdot\dfrac{5}{7}(w+11)&=\dfrac{7}{5}\cdot 5\\\\ w+11 &= 7\\\\ w+11-11 &= 7-11\\\\ w &=-4 \end{aligned}

Matematyka jest elastyczna i na tym, między innymi, polega jej piękno. Oparcie strategii na kolejności działań jest tylko jednym z wielu sposobów rozwiązania tego równania. Możemy również wykorzystać rozdzielność mnożenia względem dodawania, aby otworzyć nawias w start fraction, 5, divided by, 7, end fraction, left parenthesis, w, plus, 11, right parenthesis, a następnie rozwiązać otrzymane równanie już bez nawiasu.

Sprawdź, czy rozumiesz: Równania dwustopniowe.

Na czym polega rozwiązywanie nierówności?

Nierówności rozwiązujemy w taki sam sposób, w jaki rozwiązujemy równania, z tym wyjątkiem, że musimy pamiętać o jednej regule: jeżeli mnożymy lub dzielimy obie strony przez liczbę ujemną, obowiązkowo odwracamy kierunek nierówności.

Zobaczmy, dlaczego to ma sens. Wiemy, że 5, is less than, 8. Pomnóżmy teraz obie strony tego równania przez minus, 1. Czy liczba minus, 5 jest mniejsza od minus, 8. Nie! left parenthesis, minus, 5, right parenthesis, is greater than, left parenthesis, minus, 8, right parenthesis, ponieważ minus, 5 znajduje się bardziej na prawo na osi liczbowej. Zatem zawsze, gdy mnożymy lub dzielimy obie strony przez liczbę ujemną, musimy pamiętać o zmianie kierunku nierówności.

Na przykład, aby rozwiązać nierówność minus, 2, x, plus, 1, is greater than, 7, najpierw odejmujemy 1 od obu stron, a następnie dzielimy obie strony przez minus, 2, co oznacza, że musimy odwrócić kierunek nierówności. Rozwiązaniem jest x, is less than, minus, 3.

Sprawdź, czy rozumiesz: Rozwiązywanie nierówności w dwóch krokach.

Sortuj według

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.