Główna zawartość
Aktualny czas:0:00Całkowity czas trwania:9:40

Wprowadzenie do kolejności wykonywania działań

Transkrypcja filmu video

W tym odcinku pomówimy o kolejności działań. Warto to sobie przyswoić, bo właściwie cała matematyka opiera się na wykonywaniu działań we właściwej kolejności. To naprawdę jest sprawa fundamentalna. Podam przykład. Chodzi o to, aby każde wyrażenie było zawsze obliczane w ten sam sposób. Powiedzmy, że mamy wyrażenie: 7 + 3 * 5. Gdyby kolejność wykonywania działań nie była ustalona, można by to obliczyć na dwa sposoby. Albo po prostu od lewej do prawej, czyli najpierw dodać 7 i 3… a potem pomnożyć to przez 5… 7 + 3 = 10,… teraz mnożymy przez 5,… i otrzymujemy 50. Tak można by to obliczyć, od lewej do prawej, gdyby kolejność działań nie była ustalona. Możemy jednak umówić się, że mnożenie wykonujemy zawsze przed dodawaniem. Zobaczmy, co to oznacza. Zmienię kolor. 7 +… i teraz ważniejsze mnożenie: 3 * 5. To nam da… 7 +… 3 * 5 to jest 15… …a 7 + 15 równa się 22. Zauważmy: obliczyliśmy to wyrażenie na dwa różne sposoby, najpierw zaczynając od dodawania, a potem zaczynając od mnożenia i uzyskaliśmy dwa różne wyniki! W matematyce to niedopuszczalne. Bo gdyby od tej kalkulacji zależało, czy sonda poleci na Księżyc i jeden komputer obliczyłby to tak, a drugi tak to zamiast na Księżyc doleciałaby na Marsa! To absolutnie niedopuszczalne. Dlatego istnieje umowna kolejność wykonywania działań takich jak te. Zgodnie z tą umową, najpierw oblicza się działania w nawiasach. Napiszmy to: "nawiasy". Następnie oblicza się potęgi. Jeśli nie znacie jeszcze potęg, nie martwcie się. W tym odcinku nie będzie potęgowania, więc nie ma się czym martwić. Następne w kolejności jest mnożenie. A dokładniej, mnożenie i dzielenie. Te dwa działania mają ten sam priorytet. Na końcu wykonuje się dodawanie i odejmowanie. Mają najniższy priorytet. I to jest właśnie uzgodniona przez matematyków kolejność wykonywania działań. Jeśli będziemy trzymać się tej umowy, zawsze powinien nam wyjść taki sam wynik. Jak więc należy obliczyć to wyrażenie? Nawiasów tu nie mamy – nawiasy wyglądają tak, to zakrzywione kreski. W tym wyrażeniu ich nie ma, ale znajdą się w kolejnych przykładach. Potęg też nie mamy. Mamy jednak jedno z tych działań, mianowicie mnożenie a zasada wymaga, aby wykonać mnożenie przed dodawaniem. Spójrzmy na nasze wyrażenie. To jest mnożenie. To działanie musimy wykonać najpierw. Ma ono wyższy priorytet niż dodawanie i odejmowanie. A więc 3 * 5 to 15, i dopiero potem dodajemy 7. Spójrzcie: "dodawanie i odejmowanie", a tu mamy dodawanie. Mnożymy, wychodzi 15, i dodajemy 7 otrzymując 22. Postępujemy zgodnie z umowną kolejnością działań, więc to jest poprawny wynik tego wyrażenia. Zróbmy kolejny przykład. Myślę, że wszystko stanie się bardziej zrozumiałe. Tym razem będę pisał na różowo. Załóżmy, że mamy 7 plus 3… w nawiasie… razy 4 dzielone przez 2… minus 5 razy 6. Mnóstwo różnych działań, ale jeśli będziemy trzymać się prawidłowej kolejności, wszystko ładnie się uprości i, mam nadzieję, wszyscy uzyskamy ten sam wynik. Najwyższy priorytet mają nawiasy. Czy mamy tu nawiasy? Mamy. Nawiasy otaczają 7 + 3. Od tego działania należy zacząć. 7 + 3 to 10. Możemy więc zastąpić treść w nawiasie liczbą 10. Resztę wyrażenia skopiuję i wkleję. Kopiuj… i wklej. Mamy teraz 10 razy cała reszta. Nawiasy załatwione. Co dalej? Nawiasów brak, więc pora obliczyć potęgi. Ale potęg nie ma naszym wyrażeniu. Potęgi wyglądają tak:… siedem do potęgi drugiej. Potęga to ta mała liczba na górze. Nie mamy potęg, pomijamy ten punkt. Następne są mnożenie i dzielenie. Spójrzmy, gdzie są te działania: mnożenie… dzielenie… i mnożenie. Gdy tak jak tu mamy kilka równorzędnych działań… bo mnożenie i dzielenie mają ten sam priorytet to wykonuje się je po kolei, od lewej do prawej. W tym przypadku mnożymy 10 przez 4 i dopiero potem dzielimy wynik przez 2. Od lewej do prawej. Następnie obliczamy 5 razy 6 przed wykonaniem odejmowania. Spróbujmy to policzyć. Najpierw to mnożenie. Można jednocześnie pomnożyć to, bo niczego to nie zmienia ale róbmy po jednym kroku. Zatem pierwszy krok to 10 * 4. Wynik tego działania to 40. Mamy to podzielić przez 2 i tak dalej. Znów skopiuję i wkleję. Wyrażenie się uprościło. Pamiętajmy, mnożenie i dzielenie mają ten sam priorytet. Bo dzielenie przez 2 to jest to samo, co mnożenie przez 1/2. Działania mnożenia i dzielenia wykonujemy kolejno od lewej do prawej. Zostało nam 40 : 2 - 5 * 6. Teraz pierwsze dzielenie od lewej. To dzielenie i to mnożenie są rozdzielone, więc można je wykonać równocześnie. Mówiąc, że są rozdzielone, mam na myśli to że między nimi jest działanie o niższym priorytecie. Weźmy je w nawiasy. To… i to… należy zrobić najpierw, przed odejmowaniem ponieważ mnożenie ma pierwszeństwo przed odejmowaniem. 40 : 2 to 20… przepisujemy minus… 5 * 6 to 30. 20 - 30 równa się -10. I to jest prawidłowy wynik. Powtórzę to jeszcze raz: jeśli mamy działania o równym priorytecie… na przykład 1 + 2 - 3 + 4 - 1… Dodawanie i odejmowanie mają ten sam priorytet, więc należy je wykonywać od lewej do prawej. 1 + 2 równa się 3… czyli mamy 3 - 3 + 4 - 1. 3 - 3 to 0… plus 4 - 1. Z tego mamy 4 - 1, czyli 3. Zrobiliśmy to od lewej do prawej. Tak samo z mnożeniem i dzieleniem, które też mają ten sam priorytet. 4 * 2 : 3 * 2 4 * 2 to… 8 : 3 * 2. 8 : 3… cóż, to będzie ułamek… 8/3 * 2 8/3 * 2 = 16/3 To prawidłowa kolejność. Nie należy najpierw mnożyć tego, a potem resztę. Kolejność nie ma znaczenia wyłącznie wtedy, gdy mamy tylko dodawanie lub tylko mnożenie. Na przykład 1 + 5 + 7 + 3 + 2. Kolejność nie ma znaczenia. Można dodawać od lewej do prawej… można od prawej do lewej… można od środka, bo to wyłącznie dodawanie. Tak samo, gdy występuje wyłącznie mnożenie. Na przykład 1 * 5 * 7 * 3 * 2. Tu też kolejność nie ma znaczenia. Tu mamy wyłącznie mnożenie a tu wyłącznie dodawanie. Gdyby tu było jakieś dzielenie albo tu odejmowanie, liczymy od lewej do prawej.