Największy wspólny dzielnik - wyjaśnienie

Witajcie w prezentacji na temat największego wspólnego dzielnika (NWD). Gwoli wyjaśnienia: gdy ktoś was zapyta jaki jest największy wspólny dzielnik liczb 12 i 8 albo jaki jest największy wspólny czynnik liczb 12 i 8 Tu powinno być „C”. To właściwie to samo. Dzielnik to liczba przez którą coś jest podzielne i czynnik tak samo, chyba że chodzi o czynnik pierwszy. Tak więc praktycznie nie ma różnicy. Ustalmy zatem, jaki jest największy wspólny dzielnik liczb 12 i 8. Robi się to bardzo prosto. Najpierw wypisujemy dzielniki. Zacznijmy od dzielników liczby 12: Dzieli się przez 1… Dzieli się przez 2… Dzieli się przez 3… Dzieli się przez 4… Przez 5 nie dzieli się… Dzieli się przez 6, to już połowa 12… i wreszcie, dzieli się przez 12. Mamy wszystkie dzielniki 12. Teraz dzielniki liczby 8: 8 dzieli się przez 1… Dzieli się przez 2… Przez 3 się nie dzieli… Dzieli się przez 4… I ostatni dzielnik, do pary z jedynką to 8. Wypisaliśmy wszystkie dzielniki liczb 12 i 8. Teraz znajdźmy największy dzielnik wspólny dla obu z nich. Obie dzielą się przez 1 ale to nic niezwykłego, bo każda liczba całkowita dzieli się przez 1. Obie dzielą się też przez 2. A także przez 4. Mamy jednak znaleźć nie dowolny wspólny dzielnik, a największy. Znaleźliśmy 3 wspólne dzielniki. Który jest największy? Oczywiście 4. Największym wspólnym dzielnikiem liczb 12 i 8 jest liczba 4. Zapiszmy to, dla zasady. Największym wspólnym dzielnikiem liczb 12 i 8 jest 4. Oczywiście można też napisać: że największym wspólnym czynnikiem liczb 12 i 8 jest liczba 4. Czasem i mnie zdarzają się błędy. Zróbmy inny przykład. Jaki jest… największy wspólny dzielnik… liczb 25 i 20. Metoda jest ta sama. Dzielniki 25: 1… nie dzieli się przez 2, przez 3, przez 4… dzieli się przez 5… i na koniec, 25. Ciekawe, że ma tylko 3 dzielniki. Zastanówcie się, dlaczego 25 ma ich 3, a większość liczb ma ich parzystą liczbę. Teraz dzielniki 20: 1… 2… 4… 5… 10… i 20. Widać wspólny dzielnik 1, ale to nic niezwykłego. Jest jeszcze drugi wspólny dzielnik. Zgadliście, 5. Zatem największy wspólny dzielnik albo największy wspólny czynnik liczb 25 i 20 to liczba 5. Jeszcze jeden przykład. Jaki jest największy wspólny dzielnik liczb 5 i 12. Dzielniki 5? Łatwizna: 1 i 5. 5 to liczba pierwsza, dlatego ma tylko dwa. A dzielniki 12? Jest ich mnóstwo. 1… 2… 3… 4… 6 i 12. Wychodzi na to, że ich jedyny wspólny dzielnik to 1. Spore rozczarowanie. Największy wspólny dzielnik liczb 5 i 12… to 1. Czas na trochę terminologii. Dwie liczby nie mające wspólnych dzielników innych niż 1 noszą nazwę liczb względnie pierwszych. To logiczne, bo liczba pierwsza ma tylko dwa dzielniki: 1 i samą siebie natomiast liczby względnie pierwsze mają tylko jeden wspólny dzielnik: 1. Myślę, że to jasne. Jeszcze jeden przykład. Jaki jest największy wspólny dzielnik liczb 6 i 12. Teraz będzie dobrze. Muszę uważniej wybierać liczby. Zacznijmy od wypisania dzielników liczby 6: 1… 2… 3… 6… Dzielniki 12: 1… 2… jest ich mnóstwo… 3… 4… 6 i 12. Jak widać, wspólnym dzielnikiem jest 1. Kolejnym wspólnym jest 2. Tak samo 3… Oraz 6. I ten wspólny dzielnik jest największy. 6. Ciekawe. Największy wspólny czynnik… Przepraszam, że wciąż używam tych terminów wymiennie. Matematycy powinni się zdecydować. Największy wspólny dzielnik liczb 6 i 12 to 6, czyli jedna z liczb. To logiczne, bo 12 przecież dzieli się przez 6. Na tym na razie skończę. Mam nadzieję, że umiecie już znajdować największy wspólny dzielnik. Być może niedługo zrobię kolejną prezentację na ten temat.