Najmniejsza wspólna wielokrotność trzech liczb

Jaka jest najmniejsza wspólna wielokrotność, w skrócie NWW liczb 15, 6 i 10. Najmniejsza wspólna wielokrotność jest dokładnie tym, co mówi nazwa: najmniejszą wspólną wielokrotnością tych liczb. Wiele wam nie wyjaśniłem, ale pomoże przykład. Wypiszmy najpierw osobno wielokrotności liczb 15, 6 i 10 i zobaczmy, jaka najmniejsza wspólna liczba znajdzie się pod wszystkimi trzema. Zacznijmy od wielokrotności 15. 1 × 15 = 15… 2 × 15 = 30… Kolejne 15 i mamy 45… Jeszcze raz i mamy 60… Dodajemy kolejne 15 i mamy 75… Jeszcze raz i mamy 90… Następnie mamy 105… Jeśli wśród tych liczb nie będzie wspólnej wielokrotności pociągniemy tę listę dalej, ale na razie starczy. Mamy wielokrotności 15 aż do liczby 105. Oczywiście zawsze może ich być więcej. Teraz wypiszmy wielokrotności 6. Wielokrotności liczby 6. 1 × 6 = 6… 2 × 6 = 12… 3 × 6 = 18… 4 × 6 = 24… 5 × 6 = 30… 6 × 6 = 36… 7 × 6 = 42… 8 × 6 = 48… 9 × 6 = 54… 10 × 6 = 60… 60 wygląda ciekawie, bo jest wielokrotnością zarówno 15 jak i 6. Właściwie mamy dwie, bo jest jeszcze 30. Gdybyśmy mieli podać najmniejszą wspólną wielokrotność tylko liczb 15 i 6 byłoby nią 30. Napiszmy to jako dygresję. NWW(15, 6)… Najmniejsza wspólna wielokrotność tych dwu liczb znajduje się tutaj 2 × 15 = 30… oraz 5 × 6 = 30. Jest to więc ich wspólna wielokrotność, a przy tym najmniejsza bo istnieje jeszcze 60, ale 30 jest mniejsze. NWW(15, 6) = 30 Zostało nam 10. Chyba już wiecie, jaki będzie wynik. Wypiszmy wielokrotności 10. 10… 20… 30… 40… chyba już wystarczy, bo dotarliśmy do 30 a 30 to wspólna wielokrotność liczb 15 i 6. To właśnie nasz wynik. Zapiszmy: najmniejsza wspólna wielokrotność liczb 15, 6 i 10 jest równa 30. To tylko jeden ze sposobów. Polega na poszukaniu na listach wielokrotności najmniejszej wspólnej liczby. Drugi sposób wymaga rozłożenia tych liczb na czynniki pierwsze. Najmniejszą wspólną wielokrotnością będzie liczba złożona wyłącznie ze wszystkich czynników tych liczb. Pokażę to na przykładzie. Możemy powiedzieć, że 15 równa się 3 × 5. I to jest rozkład na czynniki, bo 3 i 5 to liczby pierwsze. Możemy też powiedzieć, że 6 równa się 2 × 3. I znów, obie te liczby są liczbami pierwszymi, więc mamy rozkład. Wreszcie, możemy powiedzieć, że 10 równa się 2 × 5. Tu także uzyskaliśmy same liczby pierwsze, więc gotowe. Najmniejsza wspólna wielokrotność… Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb 15, 6 i 10 musi zawierać wszystkie te czynniki. Aby była podzielna przez 15 musi mieć wśród czynników pierwszych co najmniej po jednej trójce i piątce. Co najmniej jedną trójkę i jedną piątkę. Bo jeśli wśród czynników jest 3 × 5, mamy zapewnioną podzielność przez 15. Aby dzielić się przez 6, musi mieć dwójkę i trójkę. Dopisujemy dwójkę ale trójka już jest, więcej nam nie trzeba. Jedna dwójka i jedna trójka zapewniają podzielność przez 6. Zaznaczę dla jasności, że tu mamy 15. Aby dzielić się przez 10, nasza liczba musi mieć dwójkę i piątkę. Jedna dwójka i jedna piątka zapewniają podzielność przez 10. Mamy już wszystko. 2 × 3 × 5 zawiera czynniki pierwsze wszystkich tych liczb: 6, 10 i 15. To najmniejsza wspólna wielokrotność, wystarczy pomnożyć. Otrzymamy 2 × 3 to 6, razy 5 to 30. Oba sposoby są dobre. Mam nadzieję, że rozumiecie ich działanie. Drugi sposób nieco lepiej sprawdza się w przypadku trudnych zestawów liczb dla których trzeba wypisać długą listę. Ale oba sposoby są równie dobre do szukania najmniejszej wspólnej wielokrotności.