Różniczkowanie funkcji o wartościach wektorowych

W ostatnim wideo mam nadzieję doszliśmy do przyzwoitego zrozumienie jak działa funkcja wektorowa, lub nawet lepiej pozycyjna funkcja wektorowa, która pod pewnymi względami, zastępuje tradycyjny Parametryzacja do opisania krzywej. I co chcę zrobić w tym wideo jest dostać troche poczucia jelit co ona oznacza podjęcie pochodna Funkcja wektorowa. W takim przypadku będzie on w odniesieniu do naszych parametru t. Tak let me right here narysować niektóre nowe rzeczy. Tak Załóżmy, że że r funkcja wektorowa t, i to nie innego niż to, co robiłam w ostatnim wideo. x t czas jednostkowy wektorowe i plus y t czas j współczynnik jednostki. Jeśli mamy były robi to w 3 wymiarów, możemy dodać z t razy k, ale Załóżmy keep things stosunkowo proste, i Załóżmy powiedzieć, że to opisuje krzywą, a Załóżmy, że krzywej mamy do czynienia z, t jest między i b oraz krzywej będzie wyglądać, pozwól mi czy mój najlepszy wysiłki, aby narysować krzywej, będziesz tylko rysować kilka losowych krzywej tutaj, tak Załóżmy, że krzywa wygląda mniej więcej tak że. Jest to w przypadku t jest równa, więc it's going to Przejdź w tym kierunku. Jest to w przypadku t jest równa b right here, to t jest równe Aby, więc tym prawo byłaby x, tym prawo, Oto y z oraz podobnie, to nawet tutaj, to x b, i jest to over here y b. Teraz widzieliśmy w ostatnim wideo, punkty końcowe tych Pozycja wektory są, co jest opisujące krzywej. Tak r możemy odnotowano ostatniej wideo, opisuje Po pkt. Nie chcę do przejrzenia zbyt dużo. Ale co chcę zrobić to przemyśleć, co jest różnica między 2 punkty? Tak Załóżmy, że że tutaj traktujemy niektóre punktu losowego. Załóżmy, że, losowe t na tym miejscu. Załóżmy wywołanie tego r t. Również w rzeczywistości 'm będzie do innego punktu, wystarczy, ponieważ Chcę zwiększyć nieco jaśniejsze. Powiedz tak Załóżmy--I 'm going to przełącznik kolory--Załóżmy powiedzieć to, że prawo istnieje r niektóre t. Niektóre szczególne t, prawo. Jest to r t. To jest zamiar, wiesz, plus coś. Dlatego że niektóre szczególne t. I Załóżmy, że chcemy opracować, załóżmy, że mamy zwiększenie t przez trochę. H. Tak Załóżmy powiedzieć że r t plus h, dobrze, jeśli chcemy postrzegać parametr t jako czas, Przeprowadziliśmy się w do przodu w czasie przez niektóre kwoty, więc nasze niewielkie cząsteczki został przeniesiony Trochę. I Załóżmy, że jesteśmy over here. Tak że istnieje że prawa, na żółto, jest r t plus h. Tylko nieznacznie większą wartość h. Teraz jedno pytanie, które firma może poprosić sami, jest, jak szybko to f zmiany w odniesieniu do t? Dlatego pierwszą rzeczą, którą może chcemy powiedzieć, jakie ma różnica między tymi dwoma? Jeśli miały podjąć i chcę wizualizować go. If I were podjęcie r, wektorowe przez stanowisko, że możemy uzyskać za pomocą oceny r przy t plus h i która, czy odjąć r t. Co możemy uzyskać? Dobrze warto przejrzeć niektóre z algebry wektorów jednak zasadniczo właśnie będziemy się uzyskanie tego wektora. Pozwól mi to zrobić w Nicei, żywymi kolorami. We going to get to wektor prawym przyciskiem, który Robimy amarantowym obramowaniem. Tak, aby amarantowy wektorowe prawo istnieje, pozwól mi to, że Karmazynowy jednego prawa, jest r wektor t Dodatkowo h minus r t. A przyjąć tego słowa znaczeniu, ponieważ po dodaniu wektorów, głowice można przejść do ogony. Alternatywnie można zapisać to jako r t plus to tu znak plus r t plus h minus r t. Po dodaniu dwóch wektorów, dodawania, pozwól mi uczynić to bardzo jasne, dodaję to wektor do to right here wektorowe. Umieścić ogona drugi wektorowe na Głowa pierwszego. Co to jest pierwszym wektorze i układam ogona drugi tam, a suma tych dwóch, jak możemy przewidywane, powinna być równa ta ostatnia. Powinna być równa r t plus h. I widzimy w takim przypadku i algebraicznie, byś Zobacz, że oczywiście ta guy i że guy są zamierza niwelują. Tak miejmy nadzieję że spełnia użytkownik. I chcę być klarowny. To, nagle, to nie jest wektor stanowiska. Nie życzymy że Hej, załóżmy paznokci ogona tego na pochodzenie i wykorzystania guy opisują wyjątkową pozycję. Teraz nagle jest on, jest po prostu rodzaju czystego wektora. Jest opisujące tylko zmiany między dwoma Pozostałe wektory stanowiska. Tak to guy-prawo określone tutaj. Ale to wektor dosłownie opisuje zmiany. Ale powiedzieć nam, opieki i jak byłoby to spojrzenie algebraicznie jeśli mamy jakby to były aby go rozwinąć? Tak to ma być równe, co to jest r t plus h? To samo co x, let me do it over here. To samo, co x t plus h czas jednostkowy wektor i plus y t plus h czas j wektor jednostki, która jest po prostu to fragment, który częściowy prawo jest to fragment, minus to kawałek, więc minus, I do it w drugim wierszu, ja mogłem Sporządzono je zobaczyć tutaj, ale używam zabraknie miejsca. Minus x t, prawo r t jest po prostu x t czas i plus, ale Należy więc, po prostu będziesz rozpowszechniać znak minus y t j razy. Faktycznie Pozwól mi zapisu, byłoby to minusa, pozwól mi zapis ten sposób plus to. Tak okaże się, że jest to naprawdę tylko to Guy prawo tutaj. Po prostu zastanawiam t. Więc masz x t i y t, a następnie później możemy można rozpowszechniać, prawo? Jeśli użytkownik rozpowszechnia ten znak minus, otrzymasz minus x t i minus y t. A ponadto wektor, może być konieczne trochę przejrzeniu na to jeśli go jeszcze nie postrzegać za chwilę, wiesz, że możesz wystarczy dodać odpowiednie składniki. Można dodać x składników i dodawania y składników. Co to ma być równe, pozwól mi wpisywania go nad w tym miejscu bo myślę, I 'm going to później z konieczne trochę miejsca. Tak Pozwól mi wpisywania go nad tutaj. Tak się r t plus h minus r t jest równa i I 'm just przechodząc do grupy x - i y składniki, to jest równa x składniki dodane do siebie, ale jest to negatywne, Wiec musimy należy odjąć tego z tym guy. Tak x t plus h minus x t, a następnie wszystkie tą razy naszych Jednostka wektorowych w kierunku x, a następnie będziesz mamy plus y t plus h minus y t czas jednostkowy wektor kierunku j, I 'm just rozmieszczanie rzeczy teraz i to pokaże nam co to jest naszym zmiany między dowolnym 2 RS dla danego zmiany w odległości. Nasze zmiany w odległości tutaj jest h pomiędzy jakimikolwiek 2 położenie wektorów. Teraz, co I wymienione na początku tego filmu wideo, I powiedział również, chciałem zmiany, i będziemy Pomyśl o chwilowej zmianie w odniesieniu do t. Tak chcę zobaczyć, jaka czy ta zmiana w okresie h? Zamiast pisania h firma może napisali Delty t, to czy have been to samo. Tak chcę, aby podzielić to o godz. Co mają do powiedzenia, look. Moje wektory zmienił ten znacznie, ale chcę powiedzieć, że ma ona w okresie h. I to jest analogiczne do kiedy jesteśmy odchodzić. Mówimy powstanie nad Uruchom, nad Delty y lub zmiana y, nad zmianą x. Jest to rodzaj zmian w naszej funkcji na zmiany w x. Załóżmy podobnie podzielić wszystko lub nie mogę powiedzieć, zmiana x, na zmianę w t. Tak tu nasze t jest zmiana h, prawo? Różnica między t plus h i t tylko będzie h. I tak we going to podzielić wszystko o godz. Kiedy należy pomnożyć wektora przez pewną skalę, lub podzielić ją przez niektóre skali lub jesteś po prostu pobranie każdej z jego części składowych i pomnożenie lub dzielenie przez tego skalar i Pobierz że prawo. Tak, na każdy skończony różnica right here, h, to będzie powiedz nam ile naszych wektor zmienia się na h. Ale jeśli chcemy znaleźć chwilowa zmiany, prawo, Podobnie jak co możemy czy podczas pierwszych dowiedzieliśmy różniczkowe rachunek różniczkowy i całkowy, możemy powiedział, ok. Jest to rodzaj analogiczne do nachylenia. Byłoby to dobry, to będzie działać również dla nas, jeśli ścieżki w obszarze Pytanie wyjrzałem coś tak. Jeśli było to liniowej ścieżce. Jeśli nasze ścieżki wyjrzałem coś tak. Możemy to tylko obliczać i będziesz mamy zasadniczo Średnia zmiana w naszych wektory stanowisko, więc można sobie wyobrazić, 2 położenie wektorów, jest jednym z nich. Również w rzeczywistości wszystkie będą równoległe. Również wektorami położenia, one nie być równoległe. Mogłyby one być podobnych. I następnie, to po prostu byłoby Opisz zmiany między te 2 h, lub jak szybko są wektorami położenia Zmiana na naszych zmian w naszej parametr, prawo? To jest, h, możesz także rozważyć, jest rodzaj t różnicowe. Czasami ludzie znaleźć h prostsze, lub czasem znajdą t różnicowe. Jednak mimo to, jestem zaniepokojony chwilowych. Mamy do czynienia z krzywych, mamy do czynienia z calculus. Byłoby to OK gdyby musimy po prostu w Świat algebraiczne, liniowe. To co robimy? Również może po prostu może powinniśmy podjąć limit jako podejścia h 0. Pozwól mi przewinięcie to. Tak Załóżmy wystarczy wziąć limit, pozwól mi to zrobić w Nicei kolor tętniącego życiem, let's take, używam z kolorów ograniczenia podejścia jak h 0 obu stron o tym. Tak tu w zbyt, I 'm going podjęcie limit jako podejścia h 0, i tu, w zbyt, I 'm going podjęcie dopuszczalne jako h podejścia 0. Tak chciałbym powiedzieć, co dzieje się, ile wykonać Zmień na zmianę moich parametru t, ale co to jest rodzaj chwilowa zmiany, jako że różnica kurczy i coraz mniejszych? To jest dokładnie co pierwszy dowiedzieliśmy podczas poznaliśmy chwilowa nachylenie lub prędkość, lub nachylenie linii stycznej. Dobrze to wygląda nieco niezdefiniowana dla mnie teraz. Mamy jeszcze nie określone limity wektorowa funkcji, możemy nie jest jeszcze zdefiniowana pochodne wektorowa funkcji. Ale szczęśliwy dla nas, wszystkie z tym stuff tutaj wygląda całkiem znane. Jest to rzeczywiście definicja naszych pochodnej. I Oto skalarne funkcji right here. Jesteś pomnożonej przez nosicieli, w celu uzyskania wektorowa funkcji. Ale tym prawo tutaj, z definicji, to to pochodnych, x premier t. Lub jest to dx dt. Right here to premier y t lub mogliśmy zapis, jak dy dt. Tak nagle możemy zdefiniować możemy powiedzieć, i jestem jest trochę ręcznie faliste tutaj, ale I chcesz umożliwiają intuicją więcej niż cokolwiek innego. Można powiedzieć, że pochodnej, można nas zadzwonić to wyrażenie prawo tu, jako pochodna Moje r funkcja wektorowa w odniesieniu do t lub możemy nazwać go dr dt, zawiadomienie aktualizować wektor znaków. Jest to jej pochodna i wszystko, co ma to być równa się r Prime t, to będzie równe, to po prostu pochodna x w odniesieniu do t, jest równa x Premier t razy x jednostkowy wektor, jednostkę poziomą Wektor oraz premier y t, czas y-wersor, razy j, jednostka wektorowych w kierunku poziomym. Jest to całkiem proste i przyjemne wynik. Ale twarde rzeczy mogą być rodzajem Wizualizacja co on reprezentuje. Więc jeśli musimy zastanowić, co się dzieje, pozwól mi narysować Wielkie Wykres, tylko po to, aby uzyskać wizualizacji w sposób Zdrowy. Tak Załóżmy, że że moja krzywej wygląda mniej więcej tak. To jest moje krzywej. I Załóżmy, że to, chcemy zgadywać chwilowa zmian na tym etapie prawo, tutaj. Tak właśnie r t. A następnie jeśli traktujemy r t plus h widzieliśmy to już, użytkownik wie, t plus h może być podobne prawo. Tak to r t plus h. Right now, różnica między tymi dwoma i jest to po prostu licznika podczas podejmowania różnicy lub jak szybkie możemy jest zmiana z tego wektora do tego wektora względem t, i jego trudno tu wizualizacji. I mam zamiar zrobić całego wideo można myśleć o wielkość tutaj. Może to być niektóre wektorowe. Cóż jest różnica między tymi dwoma po prostu chce się. Ale następnie po podzieleniu przez h it's going to być większy wektor, prawo, jeżeli zakładamy, że h jest niewielkiej liczby. Załóżmy, że h jest mniejsza niż jeden. We going uzyskanie wektora większe prawa? Ale to rodzaj średnią zmianę w tym czasie. Ale jak h pobiera i mniejszych coraz mniejszych, to r Premier t's going to, będzie jej kierunek styczna do krzywej. I myślę, że można wizualizować, prawo? W tych dwóch braci uzyskać bliżej i bliżej i bliżej, dr uzyskać mniejszy, więc zmiana, dr, różnica między dwa RS Delty uzyskać mniejszy i mniejszych, można wyobrazić Jeśli h był jeszcze mniejsze, jeśli prawo tutaj. Potem nagle różnica między tymi dwoma wektory jest uzyskiwanie mniejsze. A jest coraz bardziej styczna do krzywej. Ale mamy jest również podzielona przez mniejsze h, tak rzeczywiste instrumenty pochodne, jak zbliżania się do limitu h 0, może być użytkownik wiedzieć, być może nawet to większą liczbę. I rzeczywiście, wielkość ta wektorowe, posiada nieco trudne do wizualizacji. It's going to być zależna od naszych Parametryzacja dla krzywej. nie jest zależna od kształtu krzywej. Kierunku tego wektora zależy od kształtu to Krzywa i kierunek, aby kierunek, to będzie być styczna do krzywej. Lub można sobie wyobrazić, że to wektor jest na tangens Linia do krzywej. Wielkość tego jest nieco trudne do zrozumienia. Będziesz próbować dać trochę intuicją na że w następnym wideo. Ale to, czego chcę można zrozumieć, teraz, ponieważ będziemy mogli wykorzystać te informacje w przyszłości, kiedy robimy Linia integralną nad wektorowa funkcji.