Podsumowanie wiadomości o punktach przegięcia

Przypomnij sobie wiadomości na temat punktów przegięcia i wykorzystania rachunku różniczkowego do ich badania. Tłumaczenie na język polski: fundacja Edukacja dla Przyszłości.

Czym są punkty przegięcia?

Punkty przegięcia są punktami, gdzie wykres funkcji zmienia swoją wypukłość (z

\cup

\cap

lub odwrotnie).

Chcesz dowiedzieć się więcej o punktach przegięcia i rachunku różniczkowym? Obejrzyj ten film.

Ćwiczenia 1: Analiza punktów przegięcia metodą graficzną

Zadanie 1.1

Ile punktów przegięcia ma wykres funkcji $f$ ‍?

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Cwiczenie 2: Analiza punktów przegięcia metodą algebraiczną

Punkty przegięcia znajduje się metodą podobną do metody znajdowania punktów krytycznych. Jednak, zamiast szukać punktów, w których pochodna zmienia znak, szukamy punktów, w których druga pochodna zmienia znak.

Znajdźmy dla przykładu punkty przegięcia funkcji

f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + x^{3} - 6 x^{2}

Drugą pochodną

f

jest

f^{″} (x) = 6 (x - 1) (x + 2)

f^{″} (x) =

dla

x = - 2, 1

i jest zdefiniowana wszędzie.

x = - 2

x = 1

dzielą oś liczbową na trzy przedziały:

Spójrzmy na znak

f^{″}

w każdym z tych przedziałów,

Przedział	wartość $x$ ‍	$f^{″} (x)$ ‍	Wynik
$x < - 2$ ‍	$x = - 3$ ‍	$f^{″} (- 3) = 24 > 0$ ‍	$f$ ‍ wypukła $\cup$ ‍
$- 2 < x < 1$ ‍	$x = 0$ ‍	$f^{″} (0) = - 12 < 0$ ‍	$f$ ‍ jest wklęsła $\cap$ ‍
$x > 1$ ‍	$x = 2$ ‍	$f^{″} (2) = 24 > 0$ ‍	funkcja $f$ ‍ jest wypukła $\cup$ ‍

Widzimy, że wykres funkcji

f

zmienia swoją wypukłość w obu punktach

x = - 2

x = 1

, więc dla obu tych argumentów funkcja

f

ma punkt przegięcia.

Zadanie 2.1

g (x) = x^{4} + 4 x^{3} - 18 x^{2}

Dla jakich $x$ ‍ wykres funkcji $g$ ‍ ma punkty przegięcia?

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.