Podsumowanie wiedzy na temat znajdowania monotoniczności funkcji

Przypomnij sobie wiadomości o zastosowaniu metod rachunku różniczkowego do wyznaczania przedziałów, w których funkcja jest rosnąca lub malejąca. Tłumaczenie na język polski: fundacja Edukacja dla Przyszłości.

Znajdowanie przedziałów monotoniczności przy użyciu rachunku różniczkowego

Gdy funkcja jest rosnąca, jej pochodna (jej "nachylenie") jest dodatnia, a gdy funkcja jest malejąca, jej pochodna jest ujemna.

Jeżeli więc chcemy znaleźć przedziały, na których funkcja ma określoną monotoniczność (jest wszędzie rosnąca lub wszędzie malejąca), musimy ją zróżniczkować i znaleźć przedziały, na których jej pochodna ma określony znak.

Chcesz dowiedzieć się więcej o przedziałach monotoniczności i rachunku różniczkowym? Obejrzyj ten film.

Przykład

Znajdźmy przedziały monotoniczności funkcji

f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 7

. Pierwszym krokiem jest wykonanie pochodnej funkcji

f

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 x - 9

Teraz chcemy znaleźć przedziały, w których

f^{'}

jest dodatnia lub ujemna. Robi się to przy użyciu punktów krytycznych, w których

f^{'}

jest równa zeru lub nie jest zdefiniowana.

f^{'}

jest wielomianem, więc jest zawsze zdefiniowana. Aby znaleźć jej zera, możemy ją przedstawić w postaci iloczynowej:

f^{'} (x) = 3 (x + 3) (x - 1)

Punktami krytycznymi są więc

x = - 3

x = 1

. Punkty te dzielą oś liczbową na trzy przedziały:

Znajdźmy wartość

f^{'}

w każdym z przedziałów monotoniczności, by sprawdzić, jaki ma tam znak.

Przedział	wartość $x$ ‍	$f^{'} (x)$ ‍	Wynik
$x < - 3$ ‍	$x = - 4$ ‍	$f^{'} (- 4) = 15 > 0$ ‍	$f$ ‍ rośnie. $↗$ ‍
$- 3 < x < 1$ ‍	$x = 0$ ‍	$f^{'} (0) = - 9 < 0$ ‍	$f$ ‍ maleje. $↘$ ‍
$x > 1$ ‍	$x = 2$ ‍	$f^{'} (2) = 15 > 0$ ‍	$f$ ‍ rośnie. $↗$ ‍

Sprawdź, czy rozumiesz

zadanie 1

h (x) = - x^{3} + 3 x^{2} + 9

W których przedziałach $h$ ‍ jest malejąca?

Czy chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.