Główna zawartość
Kurs: Rachunek różniczkowy > Rozdział 3
Lekcja 7: Różne sposoby postępowania przy różniczkowaniu funkcjiRóżne sposoby postępowania przy różniczkowaniu funkcji
Różniczkowanie rządzi się wieloma prawami, które w dodatku można zastosować na różne sposoby! Spójrzmy na to szerzej i zastanówmy się w jaki sposób dojść do takiej wprawy, by umieć obliczyć pochodną każdej funkcji, sprawnie i bez błędów.
Wiele osób uczących się rachunku różniczkowego dobrze zna reguły różniczkowania, jednak natrafia na trudności w stosowaniu właściwej reguły w odpowiedniej sytuacji. Pomocne może być nauczenie się, jak się szybko przekonać, z jakim rodzajem funkcji mamy do czynienia i którą z reguł należy zastosować, a nawet jak można zapisać funkcję w innej postaci, tak aby liczenie pochodnej było łatwiejsze.
Poniżej przedstawiamy podsumowanie reguł różniczkowania, do którego można będzie się później w razie potrzeby odwołać.
Postać funkcji | Reguła |
---|---|
Potęga | |
Suma | |
Iloczyn | |
Iloraz | |
Złożenie |
Skupimy się na trzech ostatnich regułach, ponieważ w praktyce sprawiają one najwięcej trudności.
Zauważanie iloczynów, ilorazów i złożeń
Większość reguł różniczkowania mówi nam, jak określić pochodną konkretnej funkcji, np. lub potęgi .
Tym niemniej istnieje wiele ważnych reguł, które mają szersze zastosowanie i opierają się na strukturze funkcji, której pochodną należy wyznaczyć. Są to wzory na pochodną iloczynu, ilorazu i złożenia funkcji, musisz więc umieć je wypatrzyć. Zastanów się za każdym razem, czy możesz dostrzec iloczyn, iloraz lub złożenie funkcji.
Iloczyn: Jeśli widzisz coś w rodzaju , musisz zauważyć, że jest to iloczyn dwóch funkcji - wówczas będziesz mógł zastosować wzór na pochodną iloczynu funkcji.
Iloraz: Analogicznie, gdy widzisz coś w rodzaju , powinnaś zauważyć, że mamy do czynienia z dzieleniem jednej funkcji przez drugą, w związku z czym można w tym wypadku zastosować wzór na pochodną ilorazu funkcji
Złożenie: Wreszcie, gdy widzisz coś w rodzaju , spróbuj pomyśleć o tym jak o złożeniu dwóch funkcji:
Tego rodzaju funkcje nazywamy funkcjami złożonymi - aby wyznaczyć ich pochodną, stosuje się wzór na pochodną złożenia.
Częsty błąd: zapominanie o zastosowaniu wzoru na pochodną iloczynu lub ilorazu funkcji
Pamiętaj: Wyznaczanie pochodnej iloczynu funkcji to nie to samo, co liczenie iloczynu pochodnych.
Analogicznie, wyznaczanie pochodnej ilorazu funkcji nie sprowadza się jedynie do wypisania ilorazu pochodnych.
Częsty błąd: mylenie złożenia funkcji z mnożeniem
Jak widzieliśmy na przykładzie zadania 2, jest złożeniem funkcji oraz . Niektóre osoby jednak zwodzi zapis i uznają one, że mamy do czynienia z iloczynem . Tymczasem jest to zupełnie inna funkcja - policzenie jej pochodnej doprowadzi do błędnego wyniku.
Możemy zapisać funkcję w innej postaci, dzięki czemu wyznaczenie pochodnej będzie prostsze
Nie oszukujmy się: stosowanie reguł różniczkowania iloczynu, ilorazu czy złożenia funkcji może być bardzo pracochłonne. Szczególnie pochłaniające jest wyznaczanie pochodnej ilorazu. Po co więc się tak męczyć, skoro można tego uniknąć? Poniższe trzy przykłady ukazują iloczyny i ilorazy funkcji, które można zapisać w inny sposób, który uczyni liczenie ich pochodnych znacznie łatwiejszym zadaniem.
Zapisywanie funkcji w sposób ułatwiający ich różniczkowanie to nie tylko kwestia wygody - im prostsze i łatwiejsze będą rachunki, tym mniejsza szansa, że w ich trakcie popełnimy jakiś błąd!
Czasem da się zapisać iloczyn funkcji jako wielomian
Można wprawdzie zastosować wzór na pochodną iloczynu funkcji do , będzie to jednak wymagało większych nakładów pracy niż jest to konieczne. Zamiast tego możemy po prostu wymnożyć wyrażenia w nawiasach, otrzymując wielomian , a następnie zastosować wzór na pochodną funkcji potęgowych, aby otrzymać w końcu pochodną postaci .
Aby naprawdę przekonać się, ile zyskujemy, zobacz, o ile więcej rachunków wymagałoby zastosowanie wzoru na pochodną iloczynu:
Pochodna iloczynu | Pochodna wielomianu |
---|---|
Żeby było jasne: oba rozwiązania są poprawne, ale użycie reguły dla funkcji potęgowych zajmie o wiele mniej czasu i daje większe szanse, że nie popełnimy błędów w trakcie obliczeń.
Analogicznie, niekiedy iloraz można zapisać tak, by dało się skorzystać z reguły dla funkcji potęgowej
Można wprawdzie zastosować do funkcji wzór na pochodną ilorazu funkcji, znacznie łatwiej będzie jednak najpierw wykonać dzielenie, a potem użyć reguły dla funkcji funkcji potęgowej, aby wyznaczyć pochodną uproszczonego wyrażenia .
Jeśli wybierzemy wymagającą większej ilości obliczeń regułę liczenia pochodnej ilorazu funkcji, powinniśmy otrzymać ten sam wynik, ale szansa popełnienia po drodze jakiegoś błędu będzie dużo większa.
Nie każdy iloraz funkcji można przedstawić w ten sposób. Na przykład funkcji nie da się uprościć do wielomianu.
Pamiętaj: Zawsze można zastosować tę metodę do ilorazów, które mają w mianowniku jednomian.
Gdy mianownik zawiera wielomian składający się z więcej niż jednego wyrazu, być może da się uprościć zapis dokonując rozkładu na czynniki i skracając odpowiednie wyrażenia.
Ostatni przykład: zapisywanie ilorazu jako iloczynu
Wielu osobom łatwiej jest zapamiętać wzór na pochodną iloczynu niż ilorazu. Na szczęście zawsze można zapisać iloraz jako iloczyn.
Przypuśćmy, że chcemy zróżniczkować , ale nie pamiętamy kolejności wyrażeń we wzorze na pochodną ilorazu. W takim wypadku możemy wydzielić licznik i mianownik jako osobne czynniki, a następnie zapisać mianownik przy pomocy ujemnej potęgi - w ten sposób pozbywamy się jakiegokolwiek ilorazu.
Teraz możemy wreszcie użyć wzoru na pochodną iloczynu. (Uwaga: dla pierwiastka musimy dodatkowo użyć wzoru na pochodną złożenia)
Chcesz poćwiczyć więcej? Spróbuj rozwiązać te zadania.
Częsty problem: Zapisywanie odwrotności i pierwiastków w postaci potęgowej (np. czy ) może sprawiać ci trudności, o ile na razie nie czujesz się z tym dobrze. Jeśli chcesz jeszcze to przećwiczyć, przyjrzyj się następującym zadaniom:
Podsumowanie
Sprawne liczenie pochodnych wymaga rozeznania, jaki wzór należy zastosować w danym wypadku. Trzeba też umieć zauważać, kiedy da się zapisać dane wyrażenie w postaci upraszczajacej różniczkowanie.
A oto schemat blokowy podsumowujący to, co dotąd powiedzieliśmy:
Chcesz dołączyć do dyskusji?
Na razie brak głosów w dyskusji