Podsumowanie wiadomości na temat różniczkowania funkcji uwikłanej

Przypomnij sobie wiadomości o różniczkowaniu funkcji uwikłanych i wykorzystaj je do rozwiązania kilku zadań.

Jak zróżniczkować funkcję uwikłaną?

W różniczkowaniu funkcji uwikłanych różniczkujemy dwie strony równania z dwiema niewiadomymi (zwykle

x

y

) traktując jedną ze zmiennych jako funkcje drugiej. Używamy wtedy reguły łańcuchowej.

Zróżniczkujmy dla przykładu

x^{2} + y^{2} = 1

. Potraktujmy

y

jako funkcję

x

\begin{aligned} x^{2} + y^{2} & = 1 \\ \frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) & = \frac{d}{d x} (1) \\ \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (y^{2}) & = 0 \\ 2 x + 2 y \cdot \frac{d y}{d x} & = 0 \\ 2 y \cdot \frac{d y}{d x} & = - 2 x \\ \frac{d y}{d x} & = - \frac{x}{y} \end{aligned}

Zauważ, że pochodną

y^{2}

jest

2 y \cdot \frac{d y}{d x}

a nie po prostu

2 y

. Dzieje się tak dlatego, że traktujemy

y

jako funkcję

x

Chcesz wiedzieć więcej o różniczkowaniu funkcji uwikłanej? Obejrzyj ten film.

zadanie 1

x^{2} + x y + y^{3} = 0

\frac{d y}{d x} = ?

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji