If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Dowód reguły łańcuchowej (różniczkowanie funkcji złożonej)

Dowód wzoru na pochodną funkcji złożonej. Tłumaczenie na język polski: fundacja Edukacja dla Przyszłości.
Reguła łańcuchowa pozwala obliczyć pochodną złożenia funkcji:
ddx[f(g(x))]=f(g(x))g(x)
Program kursu rachunku różniczkowego AP nie wymaga znajomości dowodu tego wzoru, ale naszym zdaniem warto poznać ten dowód, tym bardziej że leży on całkowicie w naszym zasięgu. Zawsze warto zastanowić się nad dowodem, albo przynajmniej uzasadnieniem twierdzenia, które właśnie poznajesz.

Najpierw udowodnimy dwa słabsze twierdzenia, z których skorzystamy przy dowodzie wzoru na pochodną funkcji złożonej.

(Twierdzenia, z których korzystamy w trakcie dowodu nazywają się lematy.)

1. Funkcja różniczkowalna jest ciągła.

Filmy wideo na Khan Academy
Proof: Differentiability implies continuityZobacz transkrypcję filmu

2. Jeśli funkcja u jest ciągła w punkcie x, to Δu0 gdy Δx0.

Filmy wideo na Khan Academy
If function u is continuous at x, then Δu→0 as Δx→0 Zobacz transkrypcję filmu

Jesteśmy gotowi by udowodnić regułę łańcuchową!

Filmy wideo na Khan Academy

Bonus: Możemy skorzystać ze wzoru na pochodną funkcji złożonej i wzoru na pochodną iloczynu i wyprowadzić z nich wzór na pochodną ilorazu.

Wzór na pochodną ilorazu pozwala obliczyć pochodną ilorazu dwóch funkcji:
ddx[f(x)g(x)]=ddx[f(x)]g(x)f(x)ddx[g(x)][g(x)]2=f(x)g(x)f(x)g(x)[g(x)]2
Filmy wideo na Khan Academy
Quotient rule from product & chain rulesZobacz transkrypcję filmu

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.