Główna zawartość

Rachunek różniczkowy

Kurs: Rachunek różniczkowy > Rozdział 4

Lekcja 1: Różne zastosowania pochodnych

Zastosowania pojęcia tempa zmian w różnych praktycznych zadaniach

Tempo zmian jest podstawowym pojęciem rachunku różniczkowego. Zobaczmy, jak przekłada się to na rozwiązania praktycznych problemów. Tłumaczenie na język polski: fundacja Edukacja dla Przyszłości.

Jedna z podstawowych interpretacji pochodnej

f^{'}

danej funkcji

f

określa

f^{'} (k)

jako chwilowe tempo zmian funkcji

f

w punkcie

x = k

. Zobaczmy, jak ta interpretacja funkcjonuje w praktyce.

Załóżmy, że napełniamy zbiornik wodą. Objętość wody w zbiorniku, w litrach, w czasie

t

sekund od momentu rozpoczęcia napełniania dana jest przez funkcję liniową

V_{1} (t) = \frac{2}{3} t

Nachylenie tej funkcji liniowej wynosi

\frac{2}{3}

i opisuje jej tempo zmian. Innymi słowy, zbiornik napełnia się w tempie

\frac{2}{3}

litra na sekundę.

Tempo zmian funkcji liniowej jest stałe, co czyni całą sprawę łatwiejszą do zrozumienia.

Wyobraźmy sobie teraz inny zbiornik, który napełnia się wodą w taki sposób, że jego objętość zmienia się w czasie zgodnie z funkcją

V_{2} (t) = 0, 1 t^{2}

, która tym razem nie jest funkcją liniową.

Zauważ, że teraz wykres z początku wznosi się wolno, a potem coraz szybciej i szybciej. Tym razem tempo zmian funkcji

V_{2}

nie jest stałe.

Jeśli zastanawiamy się nad tempem zmian

V_{2}

, wygodnie jest zbadać chwilowe tempo zmian w danej chwili czasu. I właśnie to chwilowe tempo zmian funkcji opisuje jej pochodna.

V_{2}^{'} (t) = 0, 2 t

Na przykład,

V_{2}^{'} (5) = 1

. To znaczy, że nachylenie wykresu funkcji

V_{2}

dla

x = 5

wynosi

1

. Co to znaczy, wracając do naszego zbiornika z wodą?

Prosta styczna do krzywej w danej chwili czasu ilustruje nachylenie wykresu w tej chwili. Wiemy już, że nachylenie prostej równe jest tempu zmian, możemy więc zinterpretować

V_{2}^{'} (5) = 1

w następujący sposób:

W chwili $t = 5$ ‍ sekund, zbiornik wypełniał się wodą w tempie $1$ ‍ litr na sekundę.

Jest kilka rzeczy, na które warto zwrócić w tej interpretacji uwagę:

Po pierwsze, tempo zmian wyraziliśmy w litrach na sekundę. Jednostki, w jakich wyrażamy pochodną zawsze są stosunkiem jednostek, w jakich wyrażamy daną wielkość (w tym przypadku litrów) i jednostki, w jakich wyrażamy wielkość, w której zachodzi zmiana (w tym przypadku sekund).

Po drugie, tempo zmian odnosi się do ustalonej wartości zmiennej niezależnej (np.

t = 5

sekund). To właśnie związane jest z tym, że mamy do czynienia z chwilowym tempem zmian. W innej chwili czasu tempo zmian będzie inne. Jeśli analizujemy okres czasu, tempo zmian nie będzie na ogół stałe.

Zadanie 1.A

Przeanalizujmy następująca sytuację:

Lena idzie z domu do szkoły. Odległość jaką przeszła, w metrach, w chwili $t$ ‍ minut od wyjścia z domu dana jest przez różniczkowalną funkcję $D (t)$ ‍.

W jakich jednostkach wyrażamy pochodną $D^{'} (t)$ ‍?

Zadanie 2

Funkcja

H (t)

opisuje wysokość sadzonki drzewa, w centymetrach, po upływie

t

tygodni od posadzenia.

Nauczyciel poprosił czworo uczniów o podanie interpretacji równania

H^{'} (5) = 3

w tym przypadku.

Połącz uwagi nauczyciela z odpowiednimi interpretacjami uczniów:

1

Często popełniana błędy: Zły dobór jednostek, lub nieuwzględnienie jednostek w ogóle

Pamiętaj: Jeśli zadanie dotyczy konkretnego zastosowania, zawsze trzeba podawać jednostki.

Na przykład, w zadaniu 2, argumentem funkcji

H

jest czas, mierzony w tygodniach, a wynikiem działania funkcji jest wysokość sadzonki w centymetrach. Argumentem pochodnej

H^{'}

jest także czas mierzony w tygodniach, ale tym razem wynikiem jest tempo zmian mierzone w centymetrach na tydzień.

Inny często spotykany błąd: używanie zwrotu “w okresie czasu” zamiast “w danej chwili czasu”

Sensem pochodnej jest chwilowość tempa zmian. To znaczy, że kiedy mówimy o tempie zmian funkcji danym przez jej pochodną, powinniśmy zawsze mówić o chwilowym tempie zmian i określać punkt, do którego to chwilowe tempo zmian się odnosi.

Rozwiązywanie zadań o chwilowym tempie zmian

Zastanów się nad następującym zadaniem:

Karol wziął lekarstwo zgodnie z zaleceniem lekarza. Ilość leku, w miligramach, we krwi Karola po upływie $t$ ‍ godzin od połknięcia tabletki dana jest przez następującą funkcję:

$M (t) = 20 \cdot e^{^{- 0, 8 t}}$ ‍

Ile wynosi chwilowa zmiana ilości leku we krwi Karola po upływie $1$ ‍ godziny?

Pierwsze skojarzenie, które powinno przyjść nam do głowy po przeczytaniu tego zadania to że proszą nas o podanie chwilowego tempa zmian pewnej wielkości. A to oznacza, że chodzi o pochodną.

Jedyną funkcją, którą możemy zróżniczkować jest

M

, ale na wszelki wypadek upewnijmy się, że to jest to, o co chodzi:

M

określa ilość leku we krwi Karola w funkcji czasu, a my mamy obliczyć chwilowe tempo zmian tej wielkości. A więc, tak, chodzi o

M^{'}

M^{'} (t) = - 16 \cdot e^{- 0, 8 t}

Mamy powiedzieć, ile wynosi chwilowe tempo zmian po upływie $1$ ‍ godziny od zażycia tabletki, to znaczy, że powinniśmy obliczyć

M^{'}

w punkcie

t = 1

M^{'} (1) = - 16 \cdot e^{- 0, 8} \approx - 7, 2

W końcu, musimy pamiętać aby wyrazić naszą odpowiedź we właściwych jednostkach. Skoro

M

oznacza ilość leku we krwi w miligramach dla zmiennej niezależnej mierzonej w godzinach, jednostką

M^{'}

są miligramy na godzinę.

Podsumowując, chwilowe tempo zmian ilości leku we krwi po upływie

1

godziny od zażycia lekarstwa wynosi $- 7, 2$ ‍ miligramów na godzinę.

Zadanie 3

Funkcja

C

opisuje koszt, w złotych, zniszczenia

w

kilogramów tajnych dokumentów pewnej firmy.

C (w) = 0,001 w^{3} - 0, 15 w^{2} + 7, 5 w

Ile wynosi chwilowe tempo zmian kosztu zniszczenia dokumentów, gdy waga dokumentów równa się $10$ ‍ kilogramów?

Chcesz poćwiczyć więcej? Spróbuj rozwiązać te zadania.

Często popełniany błąd: obliczanie wartości funkcji zamiast pochodnej

Zapamiętaj: jeśli mamy obliczyć tempo zmian funkcji

f

, musimy przyjrzeć się pochodnej

f^{'}

. Obliczenie wartości funkcji

f

w danym punkcie nie pozwoli nam wnioskować na temat tempa zmian

f

w tym punkcie.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.