Główna zawartość

Rachunek różniczkowy

Kurs: Rachunek różniczkowy > Rozdział 4

Lekcja 8: Zastosowanie reguły de l'Hospitala: złożne funkcje wykładnicze

Podsumowanie wiadomości na temat reguły de l'Hospitala

Reguła de l'Hospitala pozwala nam obliczyć granicę, które na pierwszy rzut oka mają postać nieokreśloną: 0/0 albo ∞/∞. Ten artykuł pomoże Ci przypomnieć sobie wiadomości na ten temat. Tłumaczenie na polski zrealizowane przez Fundację Edukacja dla Przyszłości dzięki wsparciu Fundacji PKO Banku Polskiego.

Co to reguła de l'Hospitala?

Reguła de l'Hospitala pozwala nam na obliczenie nieokreślonych granic postaci

\frac{0}{0}

lub

\frac{\infty}{\infty}

Innymi słowy, pomaga nam w znalezieniu

lim_{x \to c} \frac{u (x)}{v (x)}

, gdzie

lim_{x \to c} u (x) = lim_{x \to c} v (x) = 0

(lub, alternatywnie, gdy obie granice wynoszą

\pm \infty

Krótko mówiąc, reguła mówi, że jeżeli granica

lim_{x \to c} \frac{u^{'} (x)}{v^{'} (x)}

istnieje, to następujące dwie granice są sobie równe:

lim_{x \to c} \frac{u (x)}{v (x)} = lim_{x \to c} \frac{u^{'} (x)}{v^{'} (x)}

Chcesz wiedzieć więcej o regule de l'Hospitala? Obejrzyj ten film.

Użycie reguły de l'Hospitala do obliczenia granic ilorazów

Znajdźmy dla przykładu

lim_{x \to 0} \frac{7 x - \sin (x)}{x^{2} + \sin (3 x)}

Podstawiając

x = 0

\frac{7 x - \sin (x)}{x^{2} + \sin (3 x)}

dostajemy nieokreśloną postać

\frac{0}{0}

. Spróbujmy więc użyć reguły de l'Hospitala:

\begin{aligned} lim_{x \to 0} \frac{7 x - \sin (x)}{x^{2} + \sin (3 x)} \\ = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [7 x - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + \sin (3 x)]} Reguła de l’Hospitala \\ = lim_{x \to 0} \frac{7 - \cos (x)}{2 x + 3 \cos (3 x)} \\ = \frac{7 - \cos (0)}{2 (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)} Podstawienie \\ = 2 \end{aligned}

Zauważ, że mogliśmy użyć reguły de l'Hospitala, ponieważ

lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [7 x - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + \sin (3 x)]}

istnieje.

Zadanie 1.1

lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{2 x} = ?

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Użycie reguły de l'Hospitala do obliczenia granic funkcji wykładniczych

Znajdźmy dla przykładu

lim_{x \to 0} (1 + 2 x)^{^{\frac{1}{\sin (x)}}}

. Podstawienie

x = 0

do wyrażenia daje nam nieokreśloną postać

1^{^{\infty}}

Wyrażenie stanie się prostsze do analizy, gdy weźmiemy jego logarytm naturalny (to częsty trik w różniczkowaniu złożonych funkcji wykładniczych). Innymi słowy, zapisując

y = (1 + 2 x)^{^{\frac{1}{\sin (x)}}}

znajdziemy

lim_{x \to 0} \ln (y)

. Gdy już będziemy to mieli, będziemy mogli znaleźć

lim_{x \to 0} y

\ln (y) = \frac{\ln (1 + 2 x)}{\sin (x)}

[Pokaż mi wszystkie obliczenia.]

Podstawienie

x = 0

\frac{\ln (1 + 2 x)}{\sin (x)}

prowadzi do nieokreślonej formy

\frac{0}{0}

, więc teraz kolej na regułę de l'Hospitala!

\begin{aligned} lim_{x \to 0} \ln (y) \\ = lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 2 x)}{\sin (x)} \\ = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 2 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]} Reguła de l’Hospitala \\ = lim_{x \to 0} \frac{(\frac{2}{1 + 2 x})}{\cos (x)} \\ = \frac{(\frac{2}{1})}{1} Podstawienie \\ = 2 \end{aligned}

Znaleźliśmy, że

lim_{x \to 0} \ln (y) = 2

, a zatem

lim_{x \to 0} y = e^{2}

[Dlaczego?]

Zadanie 2.1

lim_{x \to 0} [\cos (2 π x)]^{^{\frac{1}{x}}} = ?

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.