Główna zawartość

Kurs: Rachunek różniczkowy > Rozdział 4

Lekcja 4: Wprowadzenie do obliczeń tempa zmian powiązanych ze sobą wielkości

Rozwiązywanie zadań o tempie zmian wielkości powiązanych ze sobą

Rozwiązywanie zadań o tempie zmian wielkości, które są ze sobą powiązane, polega na tym, że staramy się znaleźć związek danej wielkości, której tempo zmian mamy obliczyć, z inną wielkością, której tempo zmian znamy i na tej podstawie znaleźć rozwiązanie. Zobaczmy, jak to się robi. Tłumaczenie na język polski: fundacja Edukacja dla Przyszłości.

W zadaniach, w których mamy wyznaczyć tempo zmiany powiązanych wielkości chodzi o to, aby oblicz tempo zmian pewnej wielkości poprzez powiązanie jej z innymi wielkościami, których tempo zmian znamy.

Przykład obliczenia tempa zmian powiązanych wielkości

Przypuśćmy, że mamy rozwiązać następujące zadanie:

Promień koła, $r (t)$ ‍, rośnie w tempie $3$ ‍ centymetrów na sekundę. W pewnej chwili $t_{0}$ ‍, promień wynosi $8$ ‍ centymetrów.

Ile wynosi tempo zmian pola powierzchni $A (t)$ ‍ koła w tej właśnie chwili czasu?

Spróbujmy zrozumieć związki pomiędzy tymi wielkościami i tempem ich zmian

W tym zadaniu zajmujemy się kołem, którego promień zmienia się w czasie. W zagadnieniu występują dwie różne wielkości:

r (t)

to promień koła w chwili

t

sekund od momentu rozpoczęcia liczenia czasu. Promień to długość, mierzymy go na przykład w centymetrach.

A (t)

to pole powierzchni tego samego koła w chwili

t

sekund od momentu rozpoczęcia liczenia czasu. Pole powierzchni mierzymy w centymetrach kwadratowych.

Q zadaniu występują także tempa zmian obu tych wielkości. Tempo zmian to po prostu pochodna danej wielkości po czasie:

r^{'} (t)

oznacza tempo zmian promienia koła w chwili

t

, mierzone w centymetrach na sekundę.

A^{'} (t)

oznacza tempo zmian pola powierzchni koła w chwili

t

, mierzone w centymetrach kwadratowych na sekundę.

Zobacz, w zadaniu powiedziano nam, że

r (t)

mierzymy w centymetrach, a

r^{'} (t)

mierzymy w centymetrach na sekundę, ale nic jeszcze nie wiemy o jednostkach, w których mierzymy

A (t)

A^{'} (t)

Z drugiej strony, wiemy że pole powierzchni mierzymy w jednostkach długości do kwadratu. Skor promień mierzymy w centymetrach, to pole powierzchni

A (t)

mierzymy w centymetrach do kwadratu, czyli centymetrach kwadratowych. W takim razie

A^{'} (t)

wyrażamy w centymetrach kwadratowych na sekundę, bo jest to pochodna

A (t)

po czasie.

Spróbujmy zrozumieć, o co tu chodzi

Wiemy, że promień koła rośnie z szybkością

3

centymetrów na sekundę. To oznacza, że w dowolnej chwili

t

r^{'} (t) = 3

Wiemy także, że w pewnej chwili

t_{0}

promień koła wynosił

8

centymetrów. To oznacza, że

r (t_{0}) = 8

. To równanie jest słuszne tylko dla chwili

t_{0}

i nie jest prawdziwe dla innej chwili czasu

t

Nasze zadanie polega na obliczeniu tempa zmian pola powierzchni koła

A (t)

w tej właśnie chwili

t_{0}

. Matematycznie, powiedzielibyśmy że chcemy obliczyć

A^{'} (t_{0})

Związek pomiędzy polem powierzchni i promieniem koła

Rozumiemy już, z jakimi wielkościami mamy do czynienia, pora więc znaleźć wzór, który je łączy. Chcemy znaleźć związek pomiędzy polem powierzchni a promieniem koła. Te dwie wielkości wiąże wzór na pole powierzchni koła:

A = π r^{2}

Różniczkowanie

Najprostszy sposób by obliczyć

A^{'} (t_{0})

to po prostu zróżniczkować po czasie obie strony tego równania. W ten sposób będziemy mogli przedstawić

A^{'} (t_{0})

za pomocą wielkości, które znamy, to znaczy

r (t_{0})

r^{'} (t_{0})

i w ten sposób obliczyć

A^{'} (t_{0})

Skorzystajmy teraz ze wzoru na

A (r (t))

i różniczkujmy. Wynik będzie zależał od

r^{'} (t)

, tzn. pochodnej promienia koła po czasie.

\begin{aligned} A (t) & = π [r (t)]^{2} \\ \frac{d}{d t} [A (t)] & = \frac{d}{d t} [π [r (t)]^{2}] \\ A^{'} (t) & = 2 π r (t) r^{'} (t) \end{aligned}

To jest sedno naszego rozwiązania: dzięki temu, że powiązaliśmy ze sobą wielkości występujące w zadaniu (tzn..

A

r

), różniczkując po czasie mogliśmy powiązać także odpowiednie tempa ich zmian (tzn.

A^{'}

r^{'}

). Dlatego właśnie mówimy tutaj o "tempie zmian powiązanych ze sobą wielkości"!

Rozwiązanie

Równanie, które otrzymaliśmy, jest prawdziwe dla dowolnej chwili

t

, a więc także w chwili

t_{0}

. Podstawiająć

r (t_{0}) = 8

r^{'} (t_{0}) = 3

do tego równania, otrzymamy:

\begin{aligned} A^{'} (t_{0}) & = 2 π r (t_{0}) r^{'} (t_{0}) \\ = 2 π (8) (3) \\ = 48 π \end{aligned}

Podsumowując, obliczyliśmy że w chwili

t_{0}

pole powierzchni tego koła rośnie w tempie

48 π

centymetrów kwadratowych na sekundę.

Zadanie 1.A

W tym zadaniu poprowadzimy Cię jeszcze raz przez analizę obliczania tempa zmian powiązanych wielkości na przykładzie następującego zadania:

Podstawa trójkąta zmniejsza się w tempie $13$ ‍ $m/h$ ‍ (metrów na godzinę), a wysokość tego trójkąta zwiększa się w tempie $6$ ‍ $m/h$ ‍. W pewnej chwili $t_{0}$ ‍ podstawa wynosi $5$ ‍ $m$ ‍, a wysokość $1$ ‍ $m$ ‍. Jakie jest tempo zmian pola trójkąta $A (t)$ ‍ w tej właśnie chwili?

Dopasuj odpowiednie jednostki do każdej z podanych wielkości.

	$m$ ‍	$m/h$ ‍	$m^{2}$ ‍	$m^{2} /h$ ‍
$b^{'} (t)$ ‍
$A (t_{0})$ ‍
$h (t_{0})$ ‍
$\frac{d A}{d t}$ ‍

Chcesz poćwiczyć więcej? Spróbuj rozwiązać te zadania.

Częsty problem: kłopoty ze zrozumieniem, które wielkości się zmieniają, a które są stałe

W typowym zadaniu o powiązanych ze sobą tempach zmian różnych wielkości mamy do czynienia z różnymi wyrażeniami. Jedne z nich opisują wielkości, inne tempa ich zmian w czasie. Jeszcze inne są stałymi w czasie współczynnikami.

To bardzo ważne, byś rozumiał(a) znaczenie poszczególnych wyrażeń i umiał(a) przypisać im odpowiednie wartości, jeśli takie dane są w treści zadania.

Warto powtórzyć jeszcze raz analizę podobną do tych z przykładu z kołem i z zadania z trójkątem: jaką interpretację mają występujące w zadaniu wielkości? W jakich jednostkach je wyrażamy? Ile wynoszą odpowiednio tempa ich zmian? Ile wynoszą ich wartości?

Zadanie 2

Rozważ następujące zadanie:

Dwa samochody zbliżają się do skrzyżowania jadąc w dwóch, prostopadłych do siebie kierunkach. Prędkość pierwszego samochodu wynosi $50 km/h$ ‍, a prędkość drugiego równa się $90 km/h$ ‍. W pewnej chwili $t_{0}$ ‍ pierwszy samochód znajduje się w odległości $x (t_{0})$ ‍ równej $0, 5 km$ ‍ od środka skrzyżowania, a odległość drugiego samochodu od środka skrzyżowania w tej samej chwili wynosi $y (t_{0})$ ‍ równe $1, 2 km$ ‍. Ile wynosi tempo zmian odległości $d (t)$ ‍ pomiędzy samochodami w tej chwili czasu?

Którego z poniższych równań należy użyć, aby rozwiązać to zadanie?

Częsty błąd: opieramy się na równaniu, które nie opisuje sytuacji danej w tym zadaniu

Prawidłowe równanie, które wiąże wielkości występujące w zadaniu, odgrywa podstawową rolę w znalezieniu jego rozwiązania. W typowej sytuacji pomocny będzie rysunek, na którym pojawią się wszystkie te wielkości. Na przykład, w tym zadaniu odległości samochodów od środka skrzyżowania i odległość pomiędzy samochodami tworzą razem trójkąt prostokątny..

Rysunek wyraźnie pokazuje że chodzi o związek pomiędzy długościami trzech boków trójkąta prostokątnego. które spełniają twierdzenie Pitagorasa:

[d (t)]^{2} = [x (t)]^{2} + [y (t)]^{2}

Gdyby rysunku nie było, moglibyśmy przypadkowo potraktować

d (t)

jako pole powierzchni trójkąta...

d (t) = \frac{x (t) \cdot y (t)}{2}

...albo potraktować

x (t)

y (t)

oraz

d (t)

jak trzy kąty w trójkącie...

d (t) + x (t) + y (t) = 180

...czy na przykład potraktować

d (t)

tak, jakby to był kąt i próbować użyć go jako argumentu w funkcji trygonometrycznej.

\tan [d (t)] = \frac{y (t)}{x (t)}

Czasem w zadaniu może chodzić o sumę kątów, a czasem o pole lub kąt w trójkącie,, ale w tym zadaniu chodzi o przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego.

Zadanie 3

Rozważ następujące zadanie:

Drabina o długości $20$ ‍ opiera się górnym końcem o ścianę. Odległość $x (t)$ ‍ pomiędzy dolnym, opartym o ziemię końcem, a ścianą rośnie w tempie of $3$ ‍ metrów na minutę. W pewnej chwili $t_{0}$ ‍ odległość od ziemi górnego końca drabiny $y (t_{0})$ ‍ wynosi $15$ ‍ metrów. W jakim tempie, w tej właśnie chwili, zmienia się kąt $θ (t)$ ‍ pomiędzy drabiną a ziemią?

Którego z poniższych równań należy użyć, aby rozwiązać to zadanie?

Chcesz poćwiczyć więcej? Spróbuj rozwiązać te zadania.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.