If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Temat: Pochodne: definicja i podstawowe własności

0

punktów mistrzowskich do zdobycia

Średnie tempo zmian i chwilowe tempo zmian

Ucz się sam(a)!
Newton, Leibniz i Usain Bolt - film z polskimi napisami
(Otwiera system)
Sieczna i średnie tempo zmian funkcji
(Otwiera system)
Pochodne - przegląd notacji
(Otwiera system)
Pochodna jako nachylenie wykresu funkcji
(Otwiera system)
Pochodna jako nachylenie prostej stycznej do wykresu
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Sieczna i średnie tempo zmian funkcjiRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Pochodna jako nachylenie wykresu funkcjiRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Pochodna jako nachylenie prostej stycznej do wykresuRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Proste sieczne

Ucz się sam(a)!
Nachylenie siecznej do wykresu funkcji ln(x) przechodzącej przez dwa punkty x=2 i x=2+h
(Otwiera system)
Prosta sieczna do wykresu, przechodząca przez dwa punkty, o współrzędnych różniących się o h
(Otwiera system)
Nachylenie siecznej do wykresu funkcji, przechodzącej przez dowolny punkt (wersja uproszczona)
(Otwiera system)
Trudniejszy problem o prostych siecznych (część 2)
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Prosta sieczna i średnie tempo zmian funkcji na dowolnym przedzialeRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Prosta sieczna i średnie tempo zmian funkcji na dowolnym przedziale (wersja uproszczona)Rozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Definicja pochodnej

Ucz się sam(a)!
Pochodna jako nachylenie prostej stycznej do wykresu funkcji
(Otwiera system)
Formalna i alternatywna definicja pochodnej
(Otwiera system)
Przykład: pochodna jako granica
(Otwiera system)
Przykład obliczania pochodnej bezpośrednio z definicji
(Otwiera system)
Obliczenie pochodnej funkcji x² w x=3 z formalnej definicji pochodnej
(Otwiera system)
Obliczenie pochodnej funkcji x² w dowolnym punkcie z formalnej definicji pochodnej
(Otwiera system)
Wyznaczanie równania prostej stycznej do wykresu funkcji wychodząc z formalnej definicji pochodnej
(Otwiera system)
Nachylenie stycznej jako granica nachylenia siecznych
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Pochodna jako granicaRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Szacowanie wartości pochodnych

Ucz się sam(a)!
W tej chwili w tej lekcji nie ma jeszcze filmów ani materiałów tekstowych
ĆWICZENIE
Szacowanie wartości pochodnejRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Różniczkowalność

Ucz się sam(a)!
Różniczkowalność i ciągłość
(Otwiera system)
Różniczkowalność w punkcie na podstawie wykresu funkcji
(Otwiera system)
Różniczkowalność funkcji w punkcie (przypadek, gdy funkcja jest różniczkowalna) - wskazówki do ćwiczenia
(Otwiera system)
Różniczkowalność funkcji w punkcie (przypadek, gdy funkcja nie jest różniczkowalna) - wskazówki do ćwiczenia
(Otwiera system)
Dowód, że różniczkowalność implikuje ciągłość
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Różniczkowalność w punkcie na podstawie wykresu funkcjiRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Różniczkowalność w punkcie: podejście algebraiczneRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Quiz 1

Podnieś swoje umiejętności w zakresie powyższych zagadnień i zbierz 900 punktów mistrzowskich.

Różniczkowanie funkcji potęgowej

Ucz się sam(a)!
Różniczkowanie funkcji potęgowej
(Otwiera system)
Różniczkowanie funkcji potęgowej - przykłady
(Otwiera system)
Czy wzór na pochodną funkcji potęgowej ma sens?
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Różniczkowanie funkcji potęgowej (wykładnik jest dodatnią liczbą całkowitą)Rozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Różniczkowanie funkcji potęgowej (wykładnik jest liczbą ujemną bądź ułamkiem)Rozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Różniczkowanie funkcji potęgowej - przykładyRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Podstawowe wzory: pochodna funkcji stałej, iloczynu stałej przez funkcję, sumy i różnicy funkcji

Ucz się sam(a)!
Podstawowe własności pochodnych
(Otwiera system)
Podstawowe prawa różniczkowania - znajdź błąd w rachunkach
(Otwiera system)
Przykład - zastosowanie własności pochodnych
(Otwiera system)
Wyprowadzenie podstawowych własności pochodnych
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Podstawowe prawa różniczkowania - znajdź błąd w rachunkachRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Przykład - zastosowanie własności pochodnychRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Wykorzystanie wzoru na pochodną funkcji potęgowej i innych reguł różniczkowania

Ucz się sam(a)!
Pochodna wielomianu
(Otwiera system)
Różniczkowanie funkcji potęgowych o dodatnich i ujemnych wykładnikach całkowitych
(Otwiera system)
Styczna do wykresu wielomianu
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Różniczkowanie wielomianówRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Różniczkowanie funkcji potęgowych o dodatnich i ujemnych wykładnikach całkowitychRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Styczna do wykresu wielomianu Rozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Quiz 2

Podnieś swoje umiejętności w zakresie powyższych zagadnień i zbierz 800 punktów mistrzowskich.

Pochodne cos(x), sin(x), 𝑒ˣ, oraz ln(x)

Ucz się sam(a)!
Przykład: pochodne funkcji sin(x) i cos(x)
(Otwiera system)
Wyprowadzenie wzorów na pochodne sin(x) i cos(x)
(Otwiera system)
Dowód, że pochodna eˣ równa się eˣ
(Otwiera system)
Dowód, że pochodna funkcji ln(x) wynosi 1/x
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Pochodne funkcji sin(x) i cos(x)Rozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Pochodne funkcji 𝑒ˣ i ln(x)Rozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Pochodna iloczynu funkcji

Ucz się sam(a)!
Pochodna iloczynu funkcji
(Otwiera system)
Różniczkowanie iloczynu
(Otwiera system)
Przykład obliczania pochodnej iloczynu funkcji zadanych przez tabele wartości
(Otwiera system)
Przykład obliczania pochodnej iloczynu funkcji, z których jedna jest zdefiniowana w jawny sposób, a druga w postaci tabeli wartości
(Otwiera system)
Dowód wzoru na pochodną iloczynu funkcji
(Otwiera system)
Podsumowanie wiadomości na temat różniczkowania iloczynu funkcji
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Pochodna iloczynu funkcjiRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Różniczkowanie iloczynu funkcji, zadanych przez tabele wartościRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Wzór na pochodną ilorazu funkcji

Ucz się sam(a)!
Wzór na pochodną ilorazu funkcji
(Otwiera system)
Przykład obliczania pochodnej ilorazu funkcji zadanych przez tabele wartości
(Otwiera system)
Różniczkowanie funkcji wymiernej
(Otwiera system)
Podsumowanie wiadomości na temat różniczkowania ilorazu funkcji
(Otwiera system)
Styczna do wykresu funkcji y=𝑒ˣ/(2+x³)
(Otwiera system)
Normalna do wykresu funkcji to y=𝑒ˣ/x²
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Różniczkowanie ilorazu funkcjiRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Różniczkowanie ilorazu funkcji, zadanych przez tabele wartościRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Różniczkowanie funkcji wymiernychRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Pochodne funkcji tan(x), cot(x), sec(x) i cosec(x)

Ucz się sam(a)!
Pochodna tangensa i kotangensa
(Otwiera system)
Pochodna sekansa i kosekansa
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Pochodne funkcji tan(x), cot(x), sec(x) i cosec(x)Rozwiąż co najmniej 5 z 7 pytań, aby przejść na następny poziom!

Quiz 3

Podnieś swoje umiejętności w zakresie powyższych zagadnień i zbierz 800 punktów mistrzowskich.

Filmy zawierające dowody

Ucz się sam(a)!
Dowód, że różniczkowalność implikuje ciągłość
(Otwiera system)
Czy wzór na pochodną funkcji potęgowej ma sens?
(Otwiera system)
Dowód wzoru na pochodną funkcji potęgowej dla naturalnych wykładników
(Otwiera system)
Wyprowadzenie wzoru na pochodną pierwiastka
(Otwiera system)
Dowód: granica, gdy x dąży do 0, sin(x)/x = 1
(Otwiera system)
Granica (1-cos(x))/x przy x dążącym do 0
(Otwiera system)
Pochodne sin(x), cos(x), tan(x), e^x oraz ln(x)
(Otwiera system)
Dowód wzoru na pochodną iloczynu funkcji
(Otwiera system)
Czekają na Ciebie:

Test sprawdzający

Podnieś swoje umiejętności w zakresie wszystkich tematów należących do tego rozdziału i zbierz 2500 punktów mistrzowskich.

O tym dziale

Pochodna funkcji opisuje tempo zmian funkcji w danym punkcie. Inna popularna interpretacja to nachylenie prostej stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie. W tym rozdziale dowiesz się, jak definiujemy pochodną za pomocą pojęcia granicy. Dowiesz się także jak obliczać pochodne w kilku często napotykanych sytuacjach (na przykład, jak obliczyć pochodną funkcji potęgowej i iloczynu oraz ilorazu funkcji). Dzięki temu, obliczanie pochodnych przestanie być tajemnicą.