Główna zawartość

Pochodne: definicja i podstawowe własności

Średnie tempo zmian i chwilowe tempo zmian

Ucz się sam(a)!
Newton, Leibniz i Usain Bolt - film z polskimi napisami
(Otwiera system)
Pojęcie pochodnej
(Otwiera system)
Sieczna i średnie tempo zmian funkcji
(Otwiera system)
Pochodne - przegląd notacji
(Otwiera system)
Pochodna jako nachylenie wykresu funkcji
(Otwiera system)
Pochodna jako nachylenie prostej stycznej do wykresu
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Sieczna i średnie tempo zmian funkcji
4 pytania
Pochodna jako nachylenie wykresu funkcji
4 pytania
Pochodna jako nachylenie prostej stycznej do wykresu
4 pytania

Proste sieczne

Ucz się sam(a)!
Nachylenie linii siecznej do krzywej.
(Otwiera system)
Nachylenie siecznej do wykresu funkcji ln(x) przechodzącej przez dwa punkty x=2 i x=2+h
(Otwiera system)
Nachylenie siecznej do wykresu funkcji, przechodzącej przez dowolny punkt
(Otwiera system)
Prosta sieczna do wykresu, przechodząca przez dwa punkty, o współrzędnych różniących się o h
(Otwiera system)
Nachylenie siecznej do wykresu funkcji, przechodzącej przez dowolny punkt (wersja uproszczona)
(Otwiera system)
Trudniejszy problem o prostych siecznych (część 1)
(Otwiera system)
Trudniejszy problem o prostych siecznych (część 2)
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Prosta sieczna i średnie tempo zmian funkcji na dowolnym przedziale
4 pytania
Prosta sieczna i średnie tempo zmian funkcji na dowolnym przedziale (wersja uproszczona)
4 pytania

Definicja pochodnej

Ucz się sam(a)!
Pochodna jako nachylenie prostej stycznej do wykresu funkcji
(Otwiera system)
Formalna i alternatywna definicja pochodnej
(Otwiera system)
Przykład: pochodna jako granica
(Otwiera system)
Przykład obliczania pochodnej bezpośrednio z definicji
(Otwiera system)
Obliczenie pochodnej funkcji x² w x=3 z formalnej definicji pochodnej
(Otwiera system)
Obliczenie pochodnej funkcji x² w dowolnym punkcie z formalnej definicji pochodnej
(Otwiera system)
Wyznaczanie równania prostej stycznej do wykresu funkcji wychodząc z formalnej definicji pochodnej
(Otwiera system)
Nachylenie stycznej jako granica nachylenia siecznych
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Pochodna jako granica
4 pytania

Szacowanie wartości pochodnych

Ucz się sam(a)!
Szacowanie wartości pochodnych
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Szacowanie wartości pochodnej
4 pytania

Różniczkowalność

Ucz się sam(a)!
Różniczkowalność i ciągłość
(Otwiera system)
Różniczkowalność w punkcie na podstawie wykresu funkcji
(Otwiera system)
Różniczkowalność funkcji w punkcie (przypadek, gdy funkcja jest różniczkowalna) - wskazówki do ćwiczenia
(Otwiera system)
Różniczkowalność funkcji w punkcie (przypadek, gdy funkcja nie jest różniczkowalna) - wskazówki do ćwiczenia
(Otwiera system)
Dowód, że różniczkowalność implikuje ciągłość
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Różniczkowalność w punkcie na podstawie wykresu funkcji
4 pytania
Różniczkowalność w punkcie: podejście algebraiczne
4 pytania

Quiz 1

Określ, gdzie leżą obszary, które możesz opanować jeszcze lepiej:
Średnie tempo zmian i chwilowe tempo zmian
Proste sieczne
Definicja pochodnej
Szacowanie wartości pochodnych
Różniczkowalność

Różniczkowanie funkcji potęgowej

Ucz się sam(a)!
Różniczkowanie funkcji potęgowej
(Otwiera system)
Różniczkowanie funkcji potęgowej - przykłady
(Otwiera system)
Czy wzór na pochodną funkcji potęgowej ma sens?
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Różniczkowanie funkcji potęgowej (wykładnik jest dodatnią liczbą całkowitą)
4 pytania
Różniczkowanie funkcji potęgowej (wykładnik jest liczbą ujemną bądź ułamkiem)
4 pytania
Różniczkowanie funkcji potęgowej - przykłady
4 pytania

Podstawowe wzory: pochodna funkcji stałej, iloczynu stałej przez funkcję, sumy i różnicy funkcji

Ucz się sam(a)!
Podstawowe własności pochodnych
(Otwiera system)
Podstawowe prawa różniczkowania - znajdź błąd w rachunkach
(Otwiera system)
Przykład - zastosowanie własności pochodnych
(Otwiera system)
Wyprowadzenie podstawowych własności pochodnych
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Podstawowe prawa różniczkowania - znajdź błąd w rachunkach
4 pytania
Przykład - zastosowanie własności pochodnych
4 pytania

Wykorzystanie wzoru na pochodną funkcji potęgowej i innych reguł różniczkowania

Ucz się sam(a)!
Pochodna wielomianu
(Otwiera system)
Różniczkowanie funkcji potęgowych o dodatnich i ujemnych wykładnikach całkowitych
(Otwiera system)
Styczna do wykresu wielomianu
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Różniczkowanie wielomianów
4 pytania
Różniczkowanie funkcji potęgowych o dodatnich i ujemnych wykładnikach całkowitych
4 pytania
Styczna do wykresu wielomianu
4 pytania

Quiz 2

Określ, gdzie leżą obszary, które możesz opanować jeszcze lepiej:
Różniczkowanie funkcji potęgowej
Podstawowe wzory: pochodna funkcji stałej, iloczynu stałej przez funkcję, sumy i różnicy funkcji
Wykorzystanie wzoru na pochodną funkcji potęgowej i innych reguł różniczkowania

Pochodne cos(x), sin(x), 𝑒ˣ, oraz ln(x)

Ucz się sam(a)!
Pochodne funkcji sin(x) i cos(x)
(Otwiera system)
Przykład: pochodne funkcji sin(x) i cos(x)
(Otwiera system)
Wyprowadzenie wzorów na pochodne sin(x) i cos(x)
(Otwiera system)
Pochodna funkcji ?ˣ
(Otwiera system)
Pochodna ln(x)
(Otwiera system)
Dowód, że pochodna eˣ równa się eˣ
(Otwiera system)
Dowód, że pochodna funkcji ln(x) wynosi 1/x
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Pochodne funkcji sin(x) i cos(x)
4 pytania
Pochodne funkcji 𝑒ˣ i ln(x)
7 pytań

Pochodna iloczynu funkcji

Ucz się sam(a)!
Pochodna iloczynu funkcji
(Otwiera system)
Różniczkowanie iloczynu
(Otwiera system)
Przykład obliczania pochodnej iloczynu funkcji zadanych przez tabele wartości
(Otwiera system)
Przykład obliczania pochodnej iloczynu funkcji, z których jedna jest zdefiniowana w jawny sposób, a druga w postaci tabeli wartości
(Otwiera system)
Dowód wzoru na pochodną iloczynu funkcji
(Otwiera system)
Podsumowanie wiadomości na temat różniczkowania iloczynu funkcji
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Pochodna iloczynu funkcji
4 pytania
Różniczkowanie iloczynu funkcji, zadanych przez tabele wartości
4 pytania

Wzór na pochodną ilorazu funkcji

Ucz się sam(a)!
Wzór na pochodną ilorazu funkcji
(Otwiera system)
Przykład obliczania pochodnej ilorazu funkcji zadanych przez tabele wartości
(Otwiera system)
Różniczkowanie funkcji wymiernej
(Otwiera system)
Podsumowanie wiadomości na temat różniczkowania ilorazu funkcji
(Otwiera system)
Styczna do wykresu funkcji y=𝑒ˣ/(2+x³)
(Otwiera system)
Normalna do wykresu funkcji to y=𝑒ˣ/x²
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Różniczkowanie ilorazu funkcji
4 pytania
Różniczkowanie ilorazu funkcji, zadanych przez tabele wartości
4 pytania
Różniczkowanie funkcji wymiernych
4 pytania

Pochodne funkcji tan(x), cot(x), sec(x) i cosec(x)

Ucz się sam(a)!
Pochodna tangensa i kotangensa
(Otwiera system)
Pochodna sekansa i kosekansa
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Pochodne funkcji tan(x), cot(x), sec(x) i cosec(x)
7 pytań

Quiz 3

Określ, gdzie leżą obszary, które możesz opanować jeszcze lepiej:
Pochodne cos(x), sin(x), 𝑒ˣ, oraz ln(x)
Pochodna iloczynu funkcji
Wzór na pochodną ilorazu funkcji
Pochodne funkcji tan(x), cot(x), sec(x) i cosec(x)

Filmy zawierające dowody

Ucz się sam(a)!
Dowód, że różniczkowalność implikuje ciągłość
(Otwiera system)
Czy wzór na pochodną funkcji potęgowej ma sens?
(Otwiera system)
Dowód wzoru na pochodną funkcji potęgowej dla naturalnych wykładników
(Otwiera system)
Wyprowadzenie wzoru na pochodną pierwiastka
(Otwiera system)
Dowód: granica, gdy x dąży do 0, sin(x)/x = 1
(Otwiera system)
Granica (1-cos(x))/x przy x dążącym do 0
(Otwiera system)
Pochodne sin(x), cos(x), tan(x), e^x oraz ln(x)
(Otwiera system)
Dowód wzoru na pochodną cos(x)
(Otwiera system)
Dowód wzoru na pochodną iloczynu funkcji
(Otwiera system)

Test sprawdzający

Przetestuj swoje zrozumienie Pochodne: definicja i podstawowe własności przy pomocy tych 25 pytań.

O tym dziale

Pochodna funkcji opisuje tempo zmian funkcji w danym punkcie. Inna popularna interpretacja to nachylenie prostej stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie. W tym rozdziale dowiesz się, jak definiujemy pochodną za pomocą pojęcia granicy. Dowiesz się także jak obliczać pochodne w kilku często napotykanych sytuacjach (na przykład, jak obliczyć pochodną funkcji potęgowej i iloczynu oraz ilorazu funkcji). Dzięki temu, obliczanie pochodnych przestanie być tajemnicą.