Przykład równania różniczkowego zupełnego, cz. 1 - film z polskimi napisami

OK, wypełniłem Twój umysł pękiem pochodnych cząstkowych i psi, względem iksów i igreków. Myślę, że jest teraz czas, żeby faktycznie zabrać się za rzeczywiste równanie różniczkowe, i uczynić sprawę trochę bardziej konkretną. Powiedzmy, że mam pochodną, y, równanie różniczkowe, y cosinus x, dodać 2x e do potęgi y dodać sinus x, dodać - zaczyna mi brakować miejsca - x do kwadratu, e do y, minus 1, razy y prim jest równe 0. Twój umysł jest teraz, mam nadzieję, w trybie równań różniczkowych zupełnych. Ale gdybyś zobaczył ten wzór w ogólnej sytuacji, spójrz na funkcję x i y, o tutaj - to jest po prostu pewna funkcja x i y - i dalej masz kolejną funkcję od x i od y, razy y prim, lub razy dy, d od x, Twój umysł powinen natychmiast stwierdzić, że to równanie jest nierozdzielne. Nie zamierzam sprawić by stało się to równaniem o zmiennych rozdzielonych, zabrałoby to bardzo dużo czasu. Ale jeżeli nie jest to równanie o zmiennych rozdzielonych, Twój umysł mówi, oho, może to jest równanie zupełne. I, mówisz, pozwól mi sprawdzić, czy to jest równanie zupełne. Tak więc jeżeli to jest równanie zupełne, to jest nasza funkcja M, będąca funkcją od x i od y. A to jest nasza funkcja N, będąca funkcją od x i od y. Sprawdźmy teraz czy pochodna cząstkowa tego, względem y, jest równa pochodnej cząstkowej tego, względem x. Zobaczmy. Pochodna cząstkowa M, względem y, jest równa - zobaczmy, y jest - więc ten cosinus x jest po prostu stałą, więc to jest po prostu cosinus x. Cosinus x dodać - jaka jest teraz pochodna? Więc 2x to jest tylko stała, jaka jest pochodna e do y, względem y? Jest to po prostu e do potęgi y, tak? Mamy więc stałą na zewnątrz, 2x razy pochodna, względem y, jest to więc 2x razy e do y. Wystarczająco jasne. Jaka jest teraz pochodna cząstkowa tego, względem x? Więc N z indeksem x, lub pochodna cząstkowa N względem x - więc jaka jest pochodna sinusa x, względem x? To proste, jest to cosinus x, dodać 2x razy e do potęgi y, tak? e do y jest tylko stałą, ponieważ y jest stałą, kiedy bierzemy pochodną cząstkową, względem x. Więc 2x e do y. I dalej minus 1, pochodna stałej, względem czegokolwiek będzie zerem. Więc pochodna N - pochodna cząstkowa N, względem x, jest cosinusem x dodać 2x e do y, co oto jest tą samą rzeczą co pochodna, cząstkowa, M, względem y. Tak więc mamy. Pokazaliśmy, że M od y jest równe - lub pochodna cząstkowa M względem y - jest równa pochodnej cząstkowej N, względem x, co mówi nam, że to jest równanie zupełne. Teraz, wiedząc, że to jest równanie zupełne - oho, moja żona zakradła się za mną, zdziwiłem się. Myślałem, że jest jakieś stworzenie w moim domu, lub coś. W każdym razie, wiemy, że to jest równanie zupełne, więc co to nam mówi? No, to mówi nam, że istnieje pewne psi, takie, że pochodna cząstkowa psi względem x jest równa M, a pochodna cząstkowa psi względem y jest równa N. I gdybyśmy znali psi, moglibyśmy przepisać nasze równanie różniczkowe jako pochodna psi, względem x, jest równa zeru. Znajdźmy psi. Więc wiemy, że pochodna cząstkowa psi, względem x, jest równa M. Możemy to zapisać. Możemy zapisać, że pochodna cząstkowa psi, względem x, jest równa M, co jest równe y cosinus x dodać 2x e do y. To jest właśnie tu. To jest moje M od x. Mogliśmy to zrobić w inny sposób. Mogliśmy powiedzieć, że pochodna cząstkowa y - pochodna cząstkowa psi, względem y, jest tą rzeczą - o tu. Ale zróbmy to tylko z x. Żeby teraz dostać pewnego rodzaju pierwsze przybliżenie co do wielkości - nie tyle przybliżenie, ale zacząć zdobywać jego poczucie - weźmy pochodną z obu stron, względem - weźmy antypochodną - weźmy całkę obu stron, względem x. Więc jeżeli weźmiesz pochodną tego wyrażenia, względem x, jeśli scałkujesz - przepraszam, jeśli wziąłbyś antypochodną tego, względem x. Pozwól mi to zapisać. Pochodna cząstkowa, względem x. Będziemy to całkować, względem x. To ma być równe całce z całego tego wyrażenia, względem x. Cosinus x dodać 2x e do y. Całkujemy względem x. Normalnie, kiedy całkujesz względem x, powiedziałbyś, OK, dodać c, tak? Ale faktycznie może tu stać dodać - ponieważ to jest pochodna cząstkowa względem x, moglibyśmy tu mieć pewną funkcję zmiennej y w ogólności, ponieważ y traktujemy jako stałą, tak? To ma sens, ponieważ jeżeli chciałbyś wziąć pochodną cząstkową obu stron względem x, gdybyś miał wziąć pochodną cząstkową funkcji, będącej tylko funkcją od y, względem x, otrzymałbyś tutaj zero. Więc kiedy tylko bierzesz antypochodną, możesz pomyśleć: oho, może tu być pewna funkcja zależna od y którą zgubiliśmy, kiedy braliśmy pochodną cząstkową, względem x. W każdym razie, uprości się to wszystko do psi. psi będzie równe całce, względem x, lub też antypochodnej, względem x, tutaj, dodać pewna funkcja od y, którą mogliśmy zagubić kiedy wzięliśmy pochodną cząstkową względem x. Zróbmy to. Obliczmy tę całkę. Zapiszę to na niebiesko. Więc y jest tylko stałą. Tak więc antypochodna y cosinus x, jest tylko y sinus x, dodać - także e do y jest stałą, więc 2x. Antypochodna 2x, względem x, jest po prostu x kwadrat, więc to jest x w kwadracie e do y. I dalej dodać pewna funkcja y. I gdybyś miał to zweryfikować, powinieneś wziąć pochodną tego wyrażenia, względem x. Gdy liczysz pochodną cząstkową tego względem x, otrzymasz to wyrażenie tutaj, co jest naszą funkcją M, tutaj w górze. I dalej, kiedy bierzesz pochodną cząstkową tego, względem x, dostaniesz zero, to się zagubi. OK, jesteśmy już prawie na miejscu. Prawie już wyliczyliśmy nasze psi, ale wciąż musimy wyznaczyć tę funkcję od y. Więc, wiemy, że biorąc pochodną cząstkową tego względem y, ponieważ jest to równanie zupełne, powinniśmy otrzymać to. Powinniśmy dostać naszą funkcję N. Zróbmy to. Tak więc pochodna - zmienię notację, po to by uwidocznić to Tobie - pochodna cząstkowa psi względem y, będzie równa - więc tutaj, y sinus x, sinus x jest po prostu stałą, y jest tylko y, więc pochodna tego, względem y, jest po prostu równa x. Dodać pochodna e do y, to jest e do y, x kwadrat jest tylko stałą. Tak więc to jest tylko x kwadrat, e do y, dodać - jaka jest pochodna cząstkowa f, względem y? To będzie f prim od y. Co zrobiliśmy? Wzięliśmy M, scałkowaliśmy względm x, i powiedzieliśmy, że mogliśmy zagubić pewną funkcję y, więc dodaliśmy ją do całego wyrażenia. I potem wzięliśmy pochodną cząstkową tej strony, którą skonstruowaliśmy, i wzięliśmy pochodną cząstkową tego, względem y. Teraz wiemy, ponieważ równanie jest dokładne, że to będzie równe naszemu N. Więc nasze N jest tam w górze. Cosinus x dodać - więc to będzie równe - chcę się upewnić, że mogę przeczytać to w górze - nasze N, tak? Oh nie, przepraszam. N jest tu wyżej. Nasze N jest wyżej. Sinus x - pozwól, że zapiszę, sinus x dodać x kwadrat, e do y, minus 1. Więc sinus x dodać x kwadrat, e do y, minus 1. To było nasze N, z naszego pierwotnego równania różniczkowego. Możemy teraz znaleźć f prim od y. Zobaczmy, mamy sinus x dodać x kwadrat, e do y, dodać f prim od y, jest równe sinus x dodać x kwadrat, e do y, minus 1. Zobaczmy, możemy usunąć sinus x z obu stron. Możemy usunąć x kwadrat e do y z obu stron. I co nam po tym zostanie? Pozostajemy z f prim od y równym 1. I pozostajemy z f od y - więc jest równe y dodać pewna stała c, prawda? Więc jakie jest nasze psi teraz? Zapisaliśmy nasze psi w górze, i mieliśmy tam nasze f od y, możemy więc to przepisać. Więc psi jest funkcją od x i y - jesteśmy już faktycznie bardzo blisko rozwiązania - psi jest funkcją x i y jest równe y sinus x dodać x kwadrat, e do y, dodać y - oh, przepraszam, to f prim od y jest równe minus 1. Więc tu jest minus 1. To jest zatem minus y dodać c. To będzie minus y dodać c. Znaleźliśmy zatem psi. I co to nam mówi? Powiedzieliśmy, że nasze pierwotne równanie różniczkowe, te u góry, za pomocą reguły łańcucha dla pochodnych cząstkowych, że pierwotne równanie różniczkowe, może być przepisane teraz jako pochodna, dx, psi jest równa - psi jest funkcją od x i od y - jest równa zero. Lub gdybyś scałkował obie strony tej równości, otrzymałbyś, że psi od x i y jest równe c, jest rozwiązaniem tego równania różniczkowego. Jeśli więc ustalimy, że to jest równe c, to jest równanie różniczkowe. Moglibyśmy powiedzieć, że y sinus x dodać x kwadrat, e do y, minus y - moglibyśmy teraz powiedzieć dodać ta stała c - dodać to c, możesz je nazwać c1, jest równe c2. Możesz odjąć te c z obu stron, tak by zostać z jednym c na końcu. W każdym razie, rozwiązaliśmy równanie zupełne, najpierw zauważając, że jest ono zupełne, za pomocą brania pochodnej cząstkowej tego, względem y, i zobaczenia, że jest to równe pochodnej cząstkowej N, względem x. Kiedy zobaczyliśmy, że są one równe, stwierdziliśmy że równanie będzie zupełne. Wyliczmy zatem psi. Ponieważ to jest zupełne, M będzie pochodną cząstkową psi względem x. N jest pochodną cząstkową psi, względem y. Potem, by znaleźć y, scałkowaliśmy M, względem x i dostaliśmy to. Ale ponieważ powiedzieliśmy, oh, więc zamiast stałej c, mogłaby być tutaj funkcja y, ponieważ wzięliśmy pochodną cząstkową względem x, więc to mogło być zagubione. By wyliczyć funkcję y, patrzymy na nasze psi, które już znaleźliśmy, bierzemy pochodną cząstkową tego, względem y, otrzymując to. I powiedzieliśmy, że to było równanie zupełne, więc to będzie równe naszemu N od x y. Kładziemy więc znak równości pomiędzy tymi dwoma, i rozwiązujemy ze względu na f od y. I stąd dostaliśmy nasze ostateczne psi. Naszym ostatecznym psi było to. I potem, równanie różniczkowe, ze względu na regułę łańcucha, możemy przepisać równanie różniczkowe jako to. To jest rozwiązaniem, więc to jest rozwiązaniem naszego równania różniczkowego. Do zobaczenia w następnym filmie.