If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość
Aktualny czas:0:00Całkowity czas trwania:8:01

Przykład równania różniczkowego zupełnego, cz. 2 - film z polskimi napisami

Transkrypcja filmu video

Zróbmy jeszcze trochę przykładów z zupełnymi równaniami różniczkowymi. Biorę te zadania ze strony 80 mojej starej książki z równań różniczkowych z college'u. Jest to piąte wydanie Elementary Differential Equations autorstwa Williama Boyce'a i Richarda DiPrima. Chciałbym się upewnić, że są zaszczyceni, że nie wymyślam tych zadań, tylko biorę je z ich książki. W każdym razie, zamierzam pokazać zestaw równań. Musimy dowiedzieć się, czy są one zupełne, i jeżeli są, użyjemy tego co wiemy o równaniach zupełnych by znaleźć ich rozwiązania. Pierwszym, które mają jest, 2x dodać 3, dodać 2y minus 2, razy y prim, jest równe 0. Tak więc to jest nasze M od x i y - aczkolwiek jest to funkcja tylko x - jest to więc nasze N, tak? Możesz powiedzieć, że jest to M lub że jest to N. Mógłbyś też powiedzieć, że jeśli równanie jest zupełne - sprawdźmy czy jest to równanie zupełne, zanim zaczniemy mówić o psi. Tak więc, jaka jest pochodna cząstkowa tego, względem y? Pochodna cząstkowa M, względem y. Cóż, nie ma tu y, więc jest to 0. Miara szybkości zmian wartości funkcji względem y to 0. Jaka jest miara szybkości zmian wartości funkcji względem x? Pochodna cząstkowa funkcji N względem x jest równa--cóż, nie mamy tutaj x, czyż nie? Są to tylko stałe względem zmiennej x, więc to wszystko będzie się równać 0. Widzimy, że obie są równe 0. M z indeksem y lub pochodna częściowa M względem y jest równa pochodnej częściowej M względem x. Nasze równanie jest zupełne. I tak na prawdę, wcale nie musimy tutaj używać metody rozwiązywań równań zupełnych. Zrobimy to, żebyśmy się do niej przyzwyczaili. Jednak spoglądając tutaj, mogłeś się już domyślić, że w rzeczywistości jest to równanie z rozdzielonymi zmiennymi. W każdym razie, równanie jest zupełne. Wiedząc, że jest zupełne, domyślamy się, że gdzieś jest funkcja psi, gdzie psi jest funkcją x i y. Gdzie psi z indeksem x jest równe tej funkcji, czyli 2x plus 3, i psi--nie powinienem mówić z indeksem x. Powiem, że jest to cząstkowa pochodna psi po x. A cząstkowa pochodna psi względem y jest równ temu, 2y minus 2. Jeśli możemy znaleźć naszą funkcję psi to wiemy że to jest pochodna funkcji psi. Ponieważ wiemy, że ta pochodna po x jest równa sumie pochodnej cząstkowej względem x i pochodnej cząstkowej względem y razy y prim. Więc to jest to samo co to. Jeśli wyliczymy y, to możemy przepisać to równanie jako dx, pochodna psi po x, jest równa 0. Zmienię kolor ponieważ robi się nudno. To tutaj, jeśli uda nam się znaleźć funkcję psi, której pochodna cząstkowa względem x, to to, pochodna cząstkowa względem y to to, wtedy to możemy przepisać jako to. A skąd to wiemy? Ponieważ pochodna psi względem x, stosując regułę łańcuchową pochodnych cząstkowych, wychodzi taka. Pochodna cząstkowa względem x to to. Pochodna cząstkowa względem y to to, razy y prim. I to jest właśnie cały myk z równaniami zupełnymi. Tak czy inaczej, pomyślmy jakie jest nasze psi. W zasadzie, zanim pomyślimy; jeżeli pochodna psi względem x wynosi 0, to jeśli scałkujemy obie strony wtedy - rozwiązaniem tego równania jest psi równe c. W takim razie, korzystając z tego, jeśli potrafimy znaleźć psi, wiemy, że rozwiązaniem tego równania różniczkowego jest psi równe c. Wówczas, jeżeli mamy jakieś warunki początkowe, możemy znaleźć c. Znajdźmy więc psi. Scałkujmy obie strony tego równania względem x. I wtedy otrzymamy, psi równa się x kwadrat dodać 3x, dodać jakaś funkcja od y. Nazwijmy ją h od y. Pamiętaj, normalnie gdy znajdujesz antypochodną masz tutaj jedynie dodać c, prawda? Ale można powiedzieć, że wzięliśmy antypochodną cząstkową. Więc gdy brałeś pochodną cząstkową względem x nie tylko zniknęły stałe - dlatego normalnie mamy plus c - ale także zniknęło wszystko co jest zależne od y i nie jest zależne od x. Weźmy, na przykład, pochodną cząstkową tego względem x - dostaniesz to, prawda? Ponieważ pochodna cząstkowa, funkcji zależnej jedynie od y, względem x wyniesie 0. Wobec tego zniknie. Tak czy siak, bierzemy antypochodną z tego, otrzymujemy to. Teraz korzystamy z tej informacji. Tak, korzystamy z tej informacji. Bierzemy pochodną cząstkową z tego wyrażenia i mówimy, że pochodna cząstkowa z tego wyrażenia względemy musi równać się temu i wówczas możemy znaleźć h od y i będziemy w domu. Zróbmy to. Pochodna cząstkowa psi względem y jest równa - no tak, to będzie 0, 0, 0. Ta część jest funkcją od x. Jeśli weźmiesz pochodną cząstkową względem y, wyniesie ona 0, gdyż to są stałe z punktu widzenia y. Stąd, zostaje h prim od y. Wiemy, że h prim od y, co jest pochodną cząstkową psi względem y, równa się temu. Stąd h prim od y równa się 2y odjąć 2. Teraz, gdybyśmy chcieli wydedukować czym jest h od y, bierzemy h od y - po prostu całkujemy obie strony względem y - równa się y kwadrat dodać - przepraszam, y kwadrat odjąć 2y. Moglibyśmy dać tutaj dodać c, ale, jeśli obejrzałeś poprzedni przykład, zauważysz, że c w pewnym sensie łączy się z tym drugim c, więc nie musisz obecnie się tym przejmować. Jaka jest więc nasza funkcja psi, jaką mamy obecnie, nie przejmując się dodawaniem c? Jest to psi od x i y równa się x kwadrat dodać 3x, dodać h od y - które, jak rozgryźliśmy, jest tym - dodać y kwadrat, odjąć 2y. I wiemy, że rozwiązaniem naszego oryginalnego równania różniczkowego jest psi równe c. Więc rozwiązaniem naszego równania różniczkowego jest to równe c. x kwadrat dodać 3x, dodać y kwadrat, odjąć 2y równa się c. Gdybyś miał jakieś dodatkowe warunki początkowe mógłbyś to sprawdzić. I zachęcam Cię do sprawdzenia tego na tym wyjściowym równaniu, albo zachęcam Cię do wzięcia pochodnej psi i udowodnienia sobie, że jeśli wziąłbyś pochodną psi względem x, tutaj, niejawnie, dostałbyś to równanie różniczkowe. Tak czy inaczej, zróbmy inny przykład. Wyczyśćmy obraz. Im więcej przykładów zobaczysz, tym lepiej. Zobaczmy, ten przykład mówi: 2x dodać 4y, dodać 2x, odjąć 2y, y prim, równa się 0. Jaka jest pochodna cząstkowa tego względem y? A więc M, pochodna cząstkowa M względem y - to jest 0 - więc to jest równe 4. Jaka jest pochodna cząstkowa tego względem x, tylko tej części o tu? Pochodna cząstkowa N względem x wynosi 2. To jest 0. Stąd pochodna cząstkowa tego względem y jest różna od pochodnej cząstkowej N względem x. To nie jest zupełne. Nie możemy więc rozwiązać tego korzystając z naszej metody do równań zupełnych. To było dość proste zadanie. Zróbmy jeszcze jedno. Zobaczmy. Kończy mi się czas, więc chcę zrobić coś, co nie jest zbyt skomplikowane. Zobaczmy, 3x kwadrat odjąć 2xy - w sumie zróbmy to w kolejnym odcinku. Nie chcę się z tym spieszyć. Będę kontynuować w następnym filmiku. Do zobaczenia wkrótce.