Przykład równania różniczkowego zupełnego, cz. 3 - film z polskimi napisami

Witam z powrotem. Próbuję pokazać Wam tak wiele przykładów rozwiązywania równań zupełnych jak to tylko możliwe. Ktoś próbuje dowiedzieć się czy równania są zupełne. I potem, że jeżeli wiesz że są zupełne, w jaki sposób znajdujesz psi i rozwiązanie równania różniczkowego? Więc następne w mojej książce jest 3x do kwadratu minus 2xy dodać 2 razy dx, dodać 6y do kwadratu minus x w kwadracie dodać 3 razy dy jest równe 0. Sposób w jaki to jest zapisane, nie jest zewnętrznie w formie jaką chcemy, tak? Jakiej formy chcemy? Chcemy pewnej funkcji od x i y, dodać inna funkcja x i y, razy y prim, lub dy po dx, jest równe 0. Jesteśmy blisko. Jak moglibyśmy przekształcić to równanie w tę postać? Po prostu dzielimy obie strony równania przez dx, prawda? I wtedy dostajemy 3x kwadrat minus 2xy dodać 2. Dzielimy przez dx, więc dx staje się 1. Dodać 6y kwadrat minus x kwadrat dodać 3. I potem dzielimy przez dx, więc to staje się dy po dx, jest równe - czym jest 0 podzielone przez dx? Dalej jest to zero. Tak więc mamy. Zapisaliśmy to wyrażenie w formie jakiej potrzebujemy, w tej formie. Potrzebujemy teraz przekonać się, że to jest równanie zupełne. Zróbmy to. Jaka jest pochodna cząstkowa M? To jest funkcja M, tak? Tu był znak plus. Jaka jest pochodna cząstkowa tego względem y? To będzie zero. To będzie minus 2x, i potem tylko 2. Tak więc pochodna cząstkowa tego względem y jest minus 2x. Więc jaka jest pochodna cząstkowa N względem x? To będzie zero, to będzie minus 2x. Tak więc mamy. Pochodna cząstkowa M względem y jest równa pochodnej cząstkowej N względem x. My jest równe Nx. Mamy więc do czynienia z równaniem zupełnym. Musimy teraz znaleźć psi. Pochodna cząstkowa psi względem x jest równa M, co jest równe 3x kwadrat minus 2 xy dodać 2. Weź antypochodną względem x z obu stron, i dostaniesz, że psi jest równe x do trzeciej minus x kwadrat y - ponieważ y jest tylko stałą - dodać 2x, dodać pewna funkcja od y. Tak? Ponieważ wiemy, że psi jest funkcją od x i od y. Więc kiedy bierzesz pochodną, kiedy bierzesz pochodną cząstkową względem x, czysta funkcja y byłaby stracona. Więc jest to jak stała, taka jak ta, którą poznaliśmy, za pierwszym razem ucząc się o braniu antypochodnej. I teraz, by wyliczyć psi, musimy tylko znaleźć h od y. I jak to robimy? Więc weźmy pochodną psi względem y. To będzie równe temu, o tutaj. Tak więc pochodna cząstkowa psi względem y, to jest zero, to jest minus x kwadrat. Więc to jest minus x kwadrat - to jest 0 - dodać h prim od y, czemu to będzie równe? To będzie równe naszemu N od x i y. To będzie równe temu. I teraz możemy rozwiązać te równanie. Więc to będzie równe 6y kwadrat minus x kwadrat dodać 3. Możesz dodać x kwadrat do obu stron by pozbyć się tego i tego. I teraz pozostaje nam równanie h prim jest równe 6y kwadrat plus 3. Antypochodna - więc h od y jest równe, co to jest - 2y do sześcianu dodać 3y. Mógłbyś dodać stałą c tutaj, ale c włączy się później do rozwiązania równania różniczkowego, więc nie musisz się za bardzo o to troszczyć. Więc jaka jest nasza funkcja psi? Zapiszę ją nowym kolorem. Nasza funkcja psi, jako funkcja x i y, jest równa x do trzeciej minus x kwadrat y dodać 2x. Dodać h od y, które właśnie znaleźliśmy. Więc h od y jest, plus 2y do trzeciej dodać 3y. I dalej mogłoby być tutaj dodać c, ale zobaczysz później, że nie ma to dużego znaczenia. Chciałbym obecnie zrobić coś trochę innego. Nie będę teraz rozwiązywał zadania. Chcę wrócić do pewnego rodzaju intuicji. Ponieważ nie chcę, żeby stało się to całkowicie mechaniczne. Pozwól mi pokazać, jaka jest pochodna - używając tego, co wiedzieliśmy zanim nauczyłeś się czegokolwiek o regule łańcucha dla pochodnych cząstkowych - jaka jest pochodna psi względem x. Jaka jest pochodna psi względem x? Tutaj będziemy wykorzystywać jedynie umiejętności różniczkowania funkcji złożonej. Tak więc pochodna tego - zapiszę to nowym kolorem - 3x kwadrat minus - teraz będziemy musieli wykorzystać regułę łańcucha - więc pochodna pierwszego wyrażenia względem x - więc, pozwól położyć mi znak minus tak, bym mógł zapisać to w ten sposób - tak więc to jest 2x razy y dodać pierwsza funkcja, x kwadrat razy pochodna drugiej funkcji względem x. Więc to jest po prostu y prim, tak? To jest: pochodna y względem y jest 1, razy pochodna y względem x, co jest równe po prostu y prim. Wystarczająco jasne. Dodać pochodna tego względem x, co jest łatwe, 2. Dodać pochodna tego względem x. Weźmy pochodną tego względem y najpierw. Po prostu robimy różniczkowanie funkcji złożonej, za pomocą reguły łańcucha. Więc to jest dodać 6y kwadrat. I teraz używamy reguły łańcucha, więc wzięliśmy pochodną względem y. I potem musisz pomnożyć to przez pochodną y względem x, co jest po prostu y prim. Dodać pochodna tego względem, równa 3, razy - używamy po prostu reguły łańcucha - pochodna y względem x. Więc to jest y prim. Spróbujmy zobaczyć, czy uda się to uprościć. Dostajemy, że to jest równe 3x kwadrat minus 2xy dodać 2. Więc to jest ten składnik, ten składnik i ten składnik. Dodać - połóżmy tylko y prim na zewnątrz - y prim razy - zobaczmy, tutaj mamy znak ujemy - minus x kwadrat dodać 6y kwadrat dodać 3. Tak więc to jest pochodna naszego psi. Spójrz bliżej i zauważ, że to jest to samo - - na szczęście jest to to samo - co w naszym pierwotnym zadaniu. Jakie było nasze pierwotne zadanie, z którym zaczęliśmy pracować? Oryginalne zadanie było takie: 3x kwadrat minus 2xy dodać 2, dodać 6y kwadrat minus x kwadrat dodać 3 razy y prim, jest równe zeru. Tak więc to był nasz początkowy problem. Zauważ, że pochodna psi względem x, na mocy reguły różniczkowania funkcji złożonej, jest dokładnie tym. Mam nadzieję, że to daje Ci trochę intuicji, dlaczego możemy przepisać te równanie, jako pochodna względem x, funkcji psi, będącej funkcją od x i od y, jest równa 0. Ponieważ to jest pochodna psi względem x. Napisałem to tutaj. To jest ta sama rzecz - to jest właśnie tutaj - tak? Tak więc to jest zero. Więc jeśli weźmiemy antypochodną obu stron, wiemy, że rozwiązanie tego równania różniczkowego jest takie, że psi od x i y jest równe c. I wiemy jakie jest psi, tak więc kładziemy, że to jest równe c i otrzymujemy uwikłaną formę rozwiązania równania różniczkowego, zdefiniuję je po prostu niejawnie. Tak więc rozwiązanie - nie musisz robić tego za każdym razem. Tego kroku, o tutaj, nie musiałbyś wykonywać podczas testu, chyba, że nauczyciel jawnie o to prosi. Chciałem po prostu w pewnym sensie upewnić się, że wiesz co robisz, że nie wykonujesz czynności całkowicie mechanicznie. Że naprawdę widzisz, że pochodna psi rzeczywiście pomaga Tobie - że znaleźliśmy psi. I chciałem tylko pokazać Tobie, że pochodna psi względem x, tylko używając różniczkowania funkcji złożonej, i naszej standardowej reguły łańcucha, faktycznie daje Tobie lewą stronę równania różniczkowego, będącego naszą wersją zadania. I w ten właśnie sposób wiemy, że pochodna psi względem x jest równa zero, ponieważ nasze pierwotne równanie różniczkowe było równe zero. Bierzesz antypochodną obu stron tego, dostajesz, że psi jest równe C, jest rozwiązaniem równania różniczkowego. Lub jeśli chciałbyś to wypisać, psi jest tą rzeczą. Nasze rozwiązanie równania różniczkowego jest takie: x do trzeciej minus x kwadrat y, dodać 2x dodać 2y do trzeciej, dodać 3y, jest równe c. To jest niejawnie zdefiniowane rozwiązanie naszego oryginalnego równania różniczkowego. W każdym razie, znowu kończy mi się czas. Do zobaczenia w następnym filmie.