If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość
Aktualny czas:0:00Całkowity czas trwania:9:54

Transkrypcja filmu video

Przedstawię teraz koncepcję równań zupełnych. Jest to po prostu kolejna metoda rozwiązywania pewnych typów równań różniczkowych. Zapiszmy to. Równania zupełne. Zanim pokażę, co to jest równanie zupełne, zamierzam przekazać Tobie trochę cegiełek, tak, że gdy później to udowodnię, lub chociaż pokażę intuicję za tym stojącą, nie będzie to zaskakujące. Powiedzmy, że mam pewną funkcję od x i y, i że będziemy nazywali ją psi, po prostu dlatego, że taką ludzie mają tendencję w równań zupełnych. Tak więc psi jest funkcją x i y. Prawdopodobnie nie jesteś zaznajomiony z regułą łańcucha dla pochodnych cząstkowych, ale pokaże Ci ją teraz, i dam trochę intuicji, chociaż nie udowodnię jej. Tak więc, jeżeli chcę wziąć pochodną tego względem x, gdzie y jest także funkcją x, mógłbym także napisać to jako y - przepraszam, to nie y, psi. Cofnij. Tak więc mógłbym także napisać to jako psi, od x i y, które jest funkcją x. Mógłbym to zapisać w ten sposób. To są tylko dwa różne sposoby zapisu tej samej rzeczy. Teraz, gdybym chciał wziąć pochodną psi względem x - to są tylko cegiełki - gdybym miał wziąć pochodną psi względem x, to jest równe - to jest reguła łańcucha dla pochodnych cząstkowych. Nie udowodnię tego, ale przedstawię Tobie intuicję. Tak więc to będzie równe pochodnej cząstkowej psi względem x plus pochodna cząstkowa pis względem y razy dy po dx. To powinno dać troszkę intuicji. W pewnym sensie biorę pochodną po x, i mógłbyś powiedzieć, i wiem że nie możesz, ponieważ ta pochodna cząstkowa względem y, i dy, są dwiema różnymi rzeczami. Ale gdy je wykasujemy, wtedy miałbyś w pewnym sensie kolejną pochodną cząstkową względem x. Gdybyś je dodał, dostałbyś pełną pochodną względem x. To nie jest nawet intuicja, jest to tylko pokazanie Tobie że nawet to powinno mieć trochę intuicyjnego sensu. Teraz intuicja. Powiedzmy, że psi, psi nie musi mieć zawsze tej postaci, ale mógłbyś wykorzystać tę samą metodologię dla bardziej złożonych notacji. Ale powiedzmy, że psi, nie będę pisał, że jest to funkcja od x i y. Wiemy, że jest to funkcja od x i od y. Powiedzmy, że jest równe f - pewnej funkcji od x, f1 od x, razy pewna funkcja od y. Powiedzmy, że jest cała masa wyrazów jak ten. Jest więc n wyrazów jak ten, dodać aż do n-tego wyrazu będącego n-tą funkcją x razy n-ta funkcja od y. Po prostu zdefiniowałem psi w ten sposób, tak bym mógł przekazać intuicję, że kiedy wykorzystuję różniczkowanie niejawne na tym wyrażeniu, kiedy biorę pochodną tego względem x, istotnie dostaję coś, co wygląd właśnie jak to. Więc jaka jest pochodna psi względem x? Pochodna psi względem x. To jest po prostu różniczkowanie funkcji złożonej, którego nauczyłeś się, taką mam nadzieję, podczas Twojego pierwszego semestru kursu rachunku różniczkowego. To jest równe, używamy tylko różniczkowania iloczynu, tak? Więc pierwszy wyraz, bierzesz pochodną tego względem x. To będzie po prostu f1 prim od x razy druga funkcja, to jest g1 od y. Teraz dodajesz to do pochodnej drugiej funkcji razy pierwsza funkcja. Więc plus f1 od x, to jest pierwsza funkcja, razy pochodna drugiej funkcji. Pochodna drugiej funkcji, to będzie ta funkcja względem y. Możesz zapisać to jako g1 prim od y. Ale oczywiście, stosujemy regułę łańcucha. Tak więc razy dy po dx. Mógłbyś chcieć przypomnieć sobie filmy o różniczkowaniu funkcji złożonej, jeśli wydaje Ci się to trochę niejasne. Ale to właśnie tutaj, to co właśnie zrobiłem, to wyrażenie tutaj, to jest pochodna względem x tego. Mamy n wyrazów jak ten. Więc gdy będziemy je dodawać, zrobię to pionowo w dół. Więc plus, i dalej masz całą listę ich, aż do ostatniego wyglądającego tak samo, jest to po prostu n-ta funkcja x. Tak więc fn prim od x razy druga funkcja, gn od y, dodać piersza funkcja, fn od x, razy pochodna drugiej funkcji. Pochodna drugiej funkcji względem y jest równa gn prim od y razy dy po dx. To tylko reguła łańcucha. dy dx. Teraz mamy 2n wyrazów. Tu mamy n wyrazów, gdzie każdy wyraz jest postaci f od x razy g od y, lub f1 od x razy g1 od y, aż w końcu do fn od x razy gn od y. Teraz z każdego z nich, otrzymaliśmy po dwa wyrazy, po zastosowaniu reguły różniczkowania iloczynu. Jeżeli pogrupujemy wyrazy, więc gdy pogrupujemy wszystkie wyrazy, które nie mają dy po dx, co dostaniemy? Gdy dodamy wszystkie te, myślę, że mógłbyś je wszystkie położyć po lewej stronie, tylko przestawiam, to wszystko jest równe f1 prim od x razy g1 od y, dodać f2, g2, aż do fn prim, przepraszam, fn prim od x, gn od y. To jest tylko to wszystko dodane razem, dodać te wszystkie dodane razem. Wszystkie te wyrazy, które mają dy po dx. Zapiszę je innym kolorem. Tak więc wszystkie te wyrazy będą w innym kolorze. Zapiszę je w innych nawiasach. Dodać f1 od x g1 prim od y, dy po dx dodam później. Wyciągnę je przed nawias. Dodać, mamy n wyrazów, dodać fn od x gn prim od y, i teraz wszystkie te wyrażenia są pomnożone przez dy po dx. Teraz, coś wygląda tutaj ciekawie. Pierwotnie zdefiniowaliśmy nasze psi, tu w górze, właśnie tutaj, ale czym jest te zielone wyrażenie? Tak więc, to co zrobiliśmy to wzięliśmy wszystkie te pojedyncze wyrazy, a te zielone wyrazy tutaj są po prostu wzięciem pochodnej tylko względem x, z każdego z nich. Ponieważ, gdy bierzesz pochodną względem x tego wyrażenia, funkcja y jest tylko stałą, tak? Gdybyś miał wziąć tylko pochodną cząstkową względem x. Jeśli więc bierzesz pochodną cząstkową względem x tego wyrażenia, traktujesz funkcję od y jak stałą. Tak więc pochodna tego będzie po prostu f prim od x, g1 od y, ponieważ g1 od y jest tylko stałą. I tak dalej, i tak dalej. Wszystkie te zielone składniki możesz postrzegać jako pochodną cząstkową psi względem x. Zachowywaliśmy się po prostu jak gdyby y była stałą. I ta sama logika, jeśli zignorujesz to, jeśli popatrzysz tylko na tę prawą część tutaj, co to jest? Wzięliśmy psi, tu w górze, potraktowaliśmy funkcję od x jak stałą, i wzięliśmy po prostu pochodną cząstkową względem y. I dlatego primy są na wszystkich literach g. I potem mnożymy to przez dy po dx. Możesz więc napisać to, to jest równe - zapiszę to na zielono - zielona część jest tą samą rzeczą co pochodna cząstkowa psi względem x. Dodać, czym jest ta część purpurowa? Pozwól, że zapiszę to innym kolorem, w magencie. To, właśnie tutaj, jest pochodną cząstkową psi względem y, i potem razy dy po dx. I w zasadzie to jest wszystko, co chciałem teraz Tobie pokazać w tym filmie, ponieważ zdaję sobie sprawę, że powoli kończy mi się czas. Że reguła łańcucha, względem jednej ze zmiennych, gdy druga zmienna funkcji jest także funkcją x, reguła łańcucha jest właśnie tym. Gdy psi jest funkcją x i y, i gdy nie biorę pochodnej cząstkowej, tylko pełną pochodną psi względem x, jest równa pochodnej cząstkowej psi względem x, dodać pochodna cząstkowa psi względem y, razy dy po dx. Gdy y nie jest funkcją x, lub gdy y jest niezależna od y, to dy po dx jest zerem. I ten wyraz jest wówczas zerem, i pochodna psi względem x byłaby po prostu pochodną cząstkową psi względem x. W każdym razie, chciałem żebyś to zapamiętał. W tym filmie, nie udowodniłem tego, ale mam nadzieję, że przekazałem Tobie trochę intuicji, o ile Cię nie zdezorientowałem. Będziemy używać tej własności w następnym cyklu filmów, żeby trochę bardziej zrozumieć równania zupełne. Zdaję sobie sprawę, że w tym filmie, po prostu dałem najwięcej intuicji jak tylko tutaj mogłem. Nie powiedziałem Tobie nawet, co to jest równanie zupełne. Do zobaczenia w następnym filmie.